02. Unidad I. Números complejos

SAVE OFFLINE

Números complejos. Ingeniería en Sistemas Computacionales

Contenido

Unidad 1. Números complejos.

• 1.1 Definición y origen de los números complejos. • 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos. • 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. • 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo. • 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. • 1.6 Ecuaciones polinómicas.

Competencia Específica: Utiliza las matrices, sus propiedades, el determinante y operaciones entre ellas, para resolver problemas de aplicación en las diferentes áreas de las matemáticas y de la ingeniería.

Definición y origen de los números complejos. Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1.25, 38.1236; 29 854.152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por “Leonhard Euler” en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”). La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.

Operaciones fundamentales con números complejos. Losnúmeroscomplejospuedensersumados,restadosmultiplicadosodivididos (salvoladivisiónpor0+0i),lasreglasformalesydefinicionessonigualesalasque usamosconlosnúmerosreales.

a + bi =c + di

Solo si a = c y b = d

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i (a + bi ) − (c + di ) = (a − c) + (b − d )i 2

(a + bi )(c + di ) =ac + (bc + ad )i + bdi =(ac − bd ) + (bc + ad )i a + bi a + bi c − di  ac + bd   bc − bd  = =   2 2  +  2 2  i , con c y d ≠ 0 c + di c + di c − di  c + d   c + d 

Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. La potencia de los números imaginarios es simplemente una forma única de la operación de multiplicación, por lo que se asume que el valor de 𝑖𝑖 2 es igual a -1, por lo que se puede tomar como un hecho universal matemático, en lo que los demás exponentes de i son determinados a través de un valor global.

Forma polar y exponencial de un número complejo. La forma polar de un número complejo es otra forma de representar un número complejo. La forma z = a + bi es llamada la forma coordenada rectangular de un número complejo.

El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Encontramos los componentes reales y complejos en términos de r y θ donde r es la longitud del vector y θ es el ángulo hecho con el eje real. 2

Del teorema de Pitágoras : r=

2

a +b

2

Por el uso de las relaciones trigonométricas básicas: a b = cos θ = y sin θ r r

La forma rectangular de un número complejo está dada por:

Z=

a + bi

En el caso de un número complejo, r representa el valor absoluto o el módulo y el ángulo θ es llamado el argumento del número complejo. Esto puede resumirse como sigue: La forma polar de la ONU Número Complejo = z

a 2 + b 2 , a = r cos θ, b = r sin θ, y

= r Z= o

b = θ tan + 180° para un < 0 a −1

(cos θ + i sin θ ) , donde b a

para un >0 o θ tan −1 + π =

Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. La formula Z . W = |z| . |W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un numero complejo. Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un entero positivo, Z (cos( nθ ) + isen( nθθ )) entonces se= obtiene: Z n

n

Esta relación, que se conoce con el nombre de Formula de Moivre, y proporciona un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier numero complejo en forma polar.

Ecuaciones polinómicas. Son un enunciado que plantea la igualdad de dos expresiones o miembros, donde al menos uno de los términos que conforman cada lado de la igualdad son polinomios P(x). Estas ecuaciones son nombradas según el grado de sus variables. n

an  x + an −1  x

n −1

1

0

+ ... + a1  x + a0  x = 0

Donde: – 𝑎𝑎𝑛𝑛 , 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 , 𝑎𝑎0 , son coeficientes (números) reales. – 𝑎𝑎𝑛𝑛 es diferente de cero.

– El exponente n es un número entero positivo que representa el grado de la ecuación. – x es la variable o incógnita que debe ser buscada.

El grado absoluto o mayor de una ecuación polinómica es aquel exponente de mayor valor entre todos aquellos que forman el polinomio; de esa forma, las ecuaciones son clasificadas como: Primer grado Las ecuaciones polinómicas de primer grado, también conocidas como ecuaciones lineales, son aquellas en las que el grado (el mayor exponente) es igual a 1, el polinomio es de la forma P(x) = 0; y es compuesta por un término lineal y uno independiente. Se escribe de la siguiente manera: 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 0 Donde: – a y b son números reales y a ≠ 0. – ax es el término lineal. – b es el término independiente.

Segundo grado Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también conocidas como ecuaciones cuadráticas, son aquellas en las que el grado (el mayor exponente) es igual a 2, el polinomio es de la forma P(x) = 0, y está compuesta por un término cuadrático, uno lineal y uno independiente. Se expresa de la siguiente manera: 𝑎𝑎𝑎𝑎 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏+c=0 Donde:

– a, b y c son números reales y a ≠ 0. – 𝑎𝑎𝑎𝑎 2 es el término cuadrático, y “a” es el coeficiente del término cuadrático. – bx es el término lineal, y “b” es el coeficiente del término lineal. – c es el término independiente.