2-Teoría de ecuaciones cuadráticas.Drive

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Espacio curricular: Matemáticas Estudiantes de 5to: Recibí sus trabajos y les envié sus devoluciones. Habilite el aula virtual para que nos comuniquemos desde allí. El que tiene acceso al aula deberá trabajar en la misma, los demás podrán enviar su trabajo vía mail al correo [email protected] . La fecha límite para presentar el trabajo es el 24 de abril. En un archivo tienen la teoría de Ecuaciones cuadráticas y en el otro archivo el Trabajo Practico Nº1. Les recomiendo leer y comprender la teoría para luego resolver el trabajo. Saludos, Claudia Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Problema 1: El área de un rectángulo es de 180 cm2, si su base es 3 cm mayor que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones? El problema consiste en calcular las dimensiones de los lados de un rectángulo que tiene las siguientes características: Condición 1: Su base es 3 cm mayor que su altura. Condición 2: Su área es de 180cm2 .Como el área de un rectángulo es base por altura se podría afirmar que (x + 3). x = 180cm2 operando sobre la misma se obtiene la siguiente expresión:

x 2 + 3x = 180cm2

Obtuvimos una ecuación cuadrática: una igualdad con una incógnita elevada al cuadrado.

Para resolver el problema debemos aprender a resolver este tipo de ecuaciones. A esa ecuación también la podemos escribir x 2 + 3x − 180cm2 = 0

Ejemplo 1: x 2 − 100 = 21 Para reconocer los valores de los coeficientes, igualamos a cero el miembro derecho de la igualdad: 𝑥 2 -121=0 con lo cual podemos afirmar que 𝑎 = 1 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 1𝑥 2 , b=0 porque no tenemos termino lineal y 𝑐 = −121.

Clasificación de ecuaciones de segundo grado con una incógnita Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita se clasifican, según los valores de sus coeficientes y término independiente, en completas o incompletas.

Ejemplos de ecuaciones completas: −𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0

2𝑥 2 − 𝑥 + 3 = 0

Ejemplos de ecuaciones incompletas: 2𝑥 2 − 3𝑥 = 0

4𝑥 2 − 1 = 0

5𝑥 2 = 0

Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Resolver una ecuación de este tipo implica encontrar sus soluciones x1 y x2. En el caso de las conocemos:

ecuaciones incompletas podemos utilizar algunas herramientas que ya

Ejemplo1: 4𝑥 2 − 4 = 0 4𝑥 2

Podemos despejar “𝑥"

=4

𝑥2 = 1

𝑥 = ±√1

𝑥 1=+1

𝑥 2=−1

Ejemplo2:

Recordar que tanto 1 como (-1) elevados al cuadrado dan 1. Por ello cuando despejo la (𝑥)2 debo considerar sus dos opciones, la positiva y la negativa; en este caso lo hago pasando la raíz cuadrada con el signo ±

3𝑥 2 = 0 En forma intuitiva puedo indicar que 𝑥 1=𝑥 2=0 ya que un producto da 0 cuando alguno de los dos factores es 0, entonces 𝑥 2 es 0 y 𝑥 = 0. Otra alternativa sería despejar: 3𝑥 2 = 0

𝑥 2 = 0: 3

𝑥2 = 0

𝑥=0

Ejemplo3: 7𝑥 2

− 14𝑥 = 0

Recordar que si 𝑚. 𝑛 = 0 → 𝑚=0 𝑜 𝑛=0

Saco factor común 7𝑥

7𝑥. (𝑥 − 2) = 0 Como este producto da 0 quiere decir que 7𝑥 = 0 𝑜 (𝑥 − 2) = 0 despejando (𝑥 − 2) = 0 𝑥 2=2 de estas dos expresiones tengo: 𝑥 = 0: 7 𝑥 1=0 y

En el caso de las ecuaciones completas no se puede despejar la 𝑥 ni utilizar las estrategias de los ejemplos vistos. Para ello utilizamos la fórmula conocida como Bhaskara.

Que en forma abreviada se escribe 𝑥 1 , 𝑥 2=

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

Ejemplo: 2𝑥 2 − 4𝑥 − 8 = 2𝑥 Lo primero que debemos hacer es igualar la ecuación a 0 y agrupar los términos semejantes: 2𝑥 2 − 4𝑥 − 2𝑥 − 8 = 0 agrupando obtengo 2𝑥 2 − 6𝑥 − 8 = 0 De aquí puedo determinar los coeficientes. 𝑎 = 2 𝑏 = −6 𝑦 𝑐 = −8

Y llegamos a que 𝑥 1=4

y 𝑥 2=−1.5

Ejemplo2: (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) = 𝑥 + 3 𝑥 2 + 3𝑥 − 2𝑥 − 6 = 𝑥 + 3

Aplico la propiedad distributiva para multiplicar

𝑥2 + 𝑥 − 6 = 𝑥 + 3 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥 − 6 − 3 = 0 𝑥2 − 9 = 0 𝑎=1

Igualo la ecuación a 0 (siempre se debe hacer para usar la fórmula)

Agrupo los términos semejantes

𝑏=0

𝑐 = −9

Identifico los coeficientes

Reemplazo los coeficientes Observen que dentro de la raíz deben separar en términos luego resuelvo la potencia 𝑏 2 ,es conveniente usar paréntesis cuando b es negativo, y realizo la multiplicación −4. 𝑎. 𝑐 respetando la regla de signos. Luego de realizar los cálculos, la potencia y el producto, los sumo o resto según el signo que me haya quedado.

Ejemplo3: 𝑥=

2𝑥 2

+𝑥+9 =0 𝑎 = 1 𝑏 =1 𝑐 = 9

−1±√12 −4.1.9 2.1

𝑥=

−1±√1−36 2

𝑥=

−1±√−35 2

La raíz √−35 no tiene solución real, en la calculadora puede aparecer Match Error o pueden aparecer los números complejos (números con i). En ese caso diremos que tiene raíces complejas.

En el próximo apartado teórico analizaremos con más detalle las posibles soluciones de la ecuación cuadrática.