5ª Apostila de Matemática - 2 ano

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Escola Jovem Integral Glória Perez

Apostila de Matemática

1. REVISÃO DE ÂNGULOS E RETAS; 2. ESTUDO DO PRISMA: CÁLCULO DA ÁREA DA SUPERFÍCIE E DO VOLUME; 3. ESTUDO DO CINLINDRO: CÁLCULO DA ÁREA DA SUPERFÍCIE E DO VOLUME; 4. ATIVIDADES

1. REVISÃO DE ÂNGULOS e RETAS As Retas, são linhas infinitas formadas por pontos, porém as retas são diferentes das linhas, pois elas não fazem curva. São representadas por letras minúsculas e devem ser desenhadas com setas para os dois lados, indicando que não possuem fim. Já os pontos da reta são indicados por letras maiúsculas.

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As retas são linhas infinitas As retas possuem somente uma dimensão (unidimensional) Numa reta existem infinitos pontos As retas podem estar em três posições: horizontal, vertical e inclinada Tipos de Retas 

Retas Paralelas não possuem ponto em comum, ou seja, elas estão posicionadas uma ao lado da outra e sempre no mesmo sentido (vertical, horizontal ou inclinada) :

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Retas Perpendiculares possuem um ponto em comum, o qual forma um ângulo reto (90°):

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Retas Transversais são definidas como uma reta que possui interseção com as outras retas em pontos diferentes:

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Retas Coincidentes são diferente das retas perpendiculares, pois elas possuem todos os pontos em comum:

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Retas Concorrentes são duas retas que se encontram em determinado ponto (vértice). No entanto, diferente das retas perpendiculares, elas se cruzam e formam entre si ângulos de 180°, chamados de ângulos suplementares.

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Retas Coplanares são retas que estão presentes no mesmo plano no espaço. Na figura abaixo ambas pertencem ao plano β:

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Retas Reversas diferente das retas coplanares, esse tipo de reta estão presentes em planos distintos:

Enquanto a reta é infinita dos dois lados, o Segmento de Reta é marcado por dois pontos da reta. Ou seja, ele é uma parte da reta que possui início e fim. Ele é representado com um traço acima dos pontos da reta.

As Semirretas são retas que possuem início, mas não apresentam um fim, ou seja, elas são ilimitadas num dos sentidos. Sendo assim, elas são diferentes das retas, pois estas são infinitas dos dois lados; e diferente dos segmentos de retas pois não são delimitadas por dois pontos. São representadas com uma seta acima das letras, a qual indica a direção da semirreta.

Os Ângulos, são duas semirretas que têm a mesma origem, no vértice, e são medidos em grau (°) ou em radiano (rad), de acordo com o Sistema Internacional. Conforme as suas medidas, os ângulos são classificados em agudo, reto, obtuso e raso. 

Ângulo Agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90°:

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Ângulo Obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90°:

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Ângulo Reto é o ângulo cuja medida é 90°:

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Ângulo Raso é o ângulo cuja medida é 180°:

Para medir os ângulos, precisamos de um transferidor, um instrumento em círculo (360º) ou semicírculo (180º) que é dividido em graus, e seguir os seguintes passos:

I.

Colocar o centro da base do transferidor sobre o vértice do ângulo.

II. III.

Colocar o ponto que indica 0º do transferidor em um dos lados do ângulo. O outro lado do ângulo apontará para a sua medida.

IMPORTANTE SABER:  O ângulo é a unidade de medida mais utilizada. Minuto e segundo são os seus múltiplos;  Importa referir que 360º equivalem a 2 π rad. Assim, 180º equivalem a π rad.

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Ângulos complementares São aqueles que quando somados medem 90°:

m (AÔC) + m (BÔC) = 60° + 30° = 90° Para calcularmos a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90° e a medida do ângulo agudo dado. Medida do ângulo x

Complemento 90° - x

Exemplo: Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º? Medida do complemento = 90° - medida do ângulo Medida do complemento = 90° - 75° Medida do complemento = 15° Logo, a medida do complemento do ângulo de 75° é 15°.

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Ângulos suplementares São aqueles que quando somados medem 180°:

m (AÔC) + m (BÔC) = 135° + 45° = 180° Para calcularmos a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado. Medida do ângulo x Exemplo: Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º? Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo Medida do suplemento = 180º - 55º Medida do suplemento = 125º Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.

Suplemento 180° - x

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Ângulos Adjacentes Os ângulos adjacentes, que são aqueles que não têm pontos comuns, podem ser complementares ou suplementares.  A soma dos ângulos adjacentes complementares é 90°:



A soma dos ângulos adjacentes suplementares é 180º.

Observe a diferença entre ângulos adjacentes com outros ângulos que possuem pontos internos em comum:

AÔC e AÔB possuem pontos internos em comum. Logo, não são adjacentes.

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Ângulos Congruentes São aqueles que têm a mesma medida:

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Ângulos Consecutivos São aqueles que possuem em comum um lado e um vértice:

AÔC e CÔB têm em comum o vértice (O) e o lado (OC)

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Ângulos Opostos pelo Vértice (OPV) são aqueles cujos lados se opõem aos lados de outro ângulo. Os ângulos opostos pelo vértice são congruentes (coincidem):

Observe uma aplicação dessa propriedade de igualdade na resolução de um problema: Exemplo: Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x - 40º. Qual é o valor de x?

x + 60° = 3x-40°  ângulos o.p.v x - 3x = - 40° - 60° -2x = -100° x = 50°

A Bissetriz é uma semirreta interna a um ângulo, traçada a partir do seu vértice, e que o divide em dois ângulos congruentes (ângulos com a mesma medida). Na figura abaixo, a bissetriz, indicada por uma reta em vermelho, reparte o ângulo AÔB ao meio.

Bissetriz dos ângulos de um triângulo Os triângulos possuem ângulos internos e externos. Podemos traçar bissetrizes em cada um destes ângulos. O ponto de encontro das três bissetrizes internas de um triângulo é chamado de incentro. O incentro está a uma mesma distância dos três lados do triângulo. Além disso, quando uma circunferência está inscrita em um triângulo, este ponto representa o centro da circunferência.

2. PRISMA: CÁLCULO DA ÁREA DA SUPERFÍCIE E DO VOLUME O prisma é um sólido geométrico que faz parte dos estudos de geometria espacial. É caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (polígonos iguais) congruentes e paralelas, além das faces planas laterais (paralelogramos).

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Composição do Prisma Os elementos que compõem o prisma são: base, altura, arestas, vértices e faces laterais.

Assim, as arestas das bases do prisma são os lados das bases do polígono, enquanto que as arestas laterais correspondem aos lados das faces que não pertencem às bases. Os vértices do prisma são os pontos de encontro das arestas e a altura é calculada pela distância entre os planos das bases.

Os prismas são classificados em:  

Prisma Reto: possui arestas laterais perpendiculares à base, cujas faces laterais são retângulos. Prisma Oblíquo: possui arestas laterais oblíquas à base, cujas faces laterais são paralelogramos.

Prisma reto (A) e prisma oblíquo (B)

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Bases do Prisma

De acordo com o formato das bases, os prismas são classificados em: Prisma Triangular: base formada por triângulo. Prisma Quadrangular: base formada por quadrado. Prisma Pentagonal: base formada por pentágono. Prisma Hexagonal: base formada por hexágono. Prisma Heptagonal: base formada por heptágono. Prisma Octogonal: base formada por octógono.

IMPORTANTE SABER:  “Prismas regulares” são aqueles cujas bases são polígonos regulares e, portanto, formados por prismas retos.  Se todas as faces do prisma forem quadrados, trata-se de um cubo; e, se todas as faces são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo.

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Cálculo das Medidas do Prisma

 Áreas do Prisma I. Área da Base: É importante sabermos que para calcular a área da base (Ab) de um prisma deve-se levar em conta o formato que apresenta. Por exemplo, se for um prisma triangular a área da base será um triângulo. II.

Área Lateral: para calcular a área lateral do prisma, basta somar as áreas das faces laterais. Num prisma reto, que possui todas as áreas das faces laterais congruentes, a fórmula da área lateral é:

Al = n . a n: número de lados a: face lateral III.

Área Total: para calcular a área total de um prisma, basta somar as áreas das faces laterais e as áreas das bases:

At = Sl+ 2Sb Sl: Soma das áreas das faces laterais Sb: soma das áreas das bases

 Volume do Prisma O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula:

V = Ab.h Ab: área da base h: altura

3. CINLINDRO: CÁLCULO DA ÁREA DA SUPERFÍCIE E DO VOLUME O cilindro ou cilindro circular é um sólido geométrico alongado e arredondado que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.

Essa figura geométrica, que faz parte dos estudos de geometria espacial, apresenta dois círculos com raios de medidas equivalentes os quais estão situados em planos paralelos. 

Componentes do Cilindro

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Raio: distância entre o centro do cilindro e a extremidade. Base: plano que contém a diretriz e no caso dos cilindros são duas bases (superior e inferior). Geratriz: corresponde à altura (h=g) do cilindro. Diretriz: corresponde à curva do plano da base

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Classificação dos Cilindros

Dependendo da inclinação do eixo, ou seja, do ângulo formado pela geratriz, os cilindros são classificados em: I.

Cilindro Reto: Nos cilindros circulares retos, a geratriz (altura) está perpendicular ao plano da base:

II.

Cilindro Oblíquo: Nos cilindros circulares oblíquos, a geratriz (altura) está oblíqua ao plano da base.

O chamado “cilindro equilátero” ou “cilindro de revolução” é caracterizado pela mesma medida do diâmetro da base e da geratriz (g=2r). Isso porque sua seção meridiana corresponde a um quadrado.

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Cálculo das Medidas dos Cilindros

 Áreas do Cilindro I. Área da Base: A base do cilindro é composta por um círculo, sendo assim, a calculamos através da fórmula:

Ab= π.r2 Onde: Ab: área da base π (Pi): 3,14 r: raio II. Área Lateral: Para calcular a área lateral do cilindro, ou seja, a medida da superfície lateral, utiliza-se a fórmula:

Al= 2 π.r.h Onde: Al: área lateral π (Pi): 3,14 r: raio h: altura III.

Área Total: Para calcular a área total do cilindro, ou seja, a medida total da superfície da figura, soma-se 2 vezes a área da base à área lateral, a saber:

At= 2.Ab+Al ou At = 2(π.r2) + 2(π.r.h) Onde: At: área total Ab: área da base Al: área lateral π (Pi): 3,14 r: raio h: altura

 Volume do Cilindro O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura (geratriz):

V = Ab.h ou V = π.r2.h Onde: V: volume Ab: área da base π (Pi): 3,14 r: raio h: altura

4. ATIVIDADES 1. (IFPE-2012). Júlia começou a estudar Geometria na sua escola. Com dúvida em um exercício passado pelo professor de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio. O enunciado era: 'As retas r e s são paralelas; as retas u e t, duas transversais. Encontre o valor do ângulo x na figura abaixo'. Portanto, o valor de x é:

a) 120° b) 125° c) 130° d) 135° e) 140°

2. Uma lata em forma de cilindro equilátero tem altura de 10 cm. Calcule a área lateral, a área total e o volume desse cilindro. 3.

(ENEM-2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores, mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. Ciência Hoje das crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, ano 19, n. 166, mar. 1996.

Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π(pi) = 3) a) 20 mL. b) 24 mL. c) 100 mL. d) 120 mL. e) 600 mL.

4.

(Enem-2012) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide c) Cone, tronco de pirâmide e prisma d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma e) Cilindro, prisma e tronco de cone

5.

Calcule a área da base, a área lateral e a área total de um prisma reto que apresenta 20 cm de altura, cuja base é um triângulo retângulo com catetos que medem 8 cm e 15 cm.

Continue a nadar!!!