Aula Elementar 18 -Funções Trigonométricas

10 Pages • 4,362 Words • PDF • 726.2 KB
Uploaded at 2021-09-24 08:59

This document was submitted by our user and they confirm that they have the consent to share it. Assuming that you are writer or own the copyright of this document, report to us by using this DMCA report button.


Funções Trigonométricas Anotações

Prof. Hugo Gomes

Exercícios – Nível 1 1. Determine o valor da expressão: y = cos ( π 3) − tg ( π 4) + sen ( π 6).

e) 3. 6. Considerando 0 ≤ x ≤ 2π, o gráfico a seguir corresponde a:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 2. Observe o gráfico da função trigonométrica y = 1 + 2 sen x, a seguir.

Pode-se afirmar que o seu conjunto imagem é o intervalo a) [-2, 1] b) [-2, 2] c) [-1, 2] d) [-1, 3] e) [-1, 4]

a) y = sen (x + 1) b) y = 1 + sen x c) y = sen x + cos x d) y = sen2 x + cos2 x e) y = 1 - cos x 7. O gráfico seguinte corresponde a uma das funções de IR em IR a seguir definidas. A qual delas?

3. Observe o gráfico a seguir. a) f(x) = sen 2x + 1 b) f(x) = 2 sen x c) f(x) = cos x + 1 d) f(x) = 2 sen 2x e) f(x) = 2 cos x + 1 8. O gráfico a seguir representa a função real f. A função real de variável real que MELHOR corresponde a esse gráfico é a) y = cos x b) y = sen x c) y = cos 2x d) y = sen 2x e) y = 2 sen x 4. Se senx - cosx = 1/2, o valor de senx cosx é igual a: a) - 3/16 b) - 3/8 c) 3/8 d) 3/4 e) 3/2 5. O menor valor de 1/(3-cos x), com x real, é: a) 1/6. b) 1/4. c) 1/2. d) 1.

Esta função é dada por: a) f(x) = 1 - cos x b) f(x) = 1 + cos x c) f(x) = cos (x +1) d) f(x) = cos (x - 1) e) f(x) = cos (x + π) 9. Supondo que, em determinada região, a temperatura média semanal T(em °C) e a quantidade de energia solar média semanal Q que atinge a região (em kcal/cm2) possam ser expressas em função do tempo t, em semanas, por meio das funções

d) 320 e 80 e) 120 e 80

julgue os itens a seguir. ( ) A maior temperatura média semanal é de 22°C.

14. Uma população P de animais varia, aproximadamente, segundo a equação abaixo. P = 800 - 100 sen [(t + 3)π/6] Considere que t é o tempo medido em meses e que 10. de janeiro corresponde a t = 0. Determine, no período de 10. de janeiro a 10. de dezembro de um mesmo ano, os meses nos quais a população de animais atinge: a) um total de 750; b) seu número mínimo.

50.a

( ) Na semana, a quantidade de energia solar média semanal é mínima. ( ) Quando a quantidade de energia solar média é máxima, a temperatura média semanal também é máxima. 10. Qual das afirmações a seguir é verdadeira? a) sen 210° < cos 210° < tg 210° b) cos 210° < sen 210° < tg 210° c) tg 210° < sen 210 ° < cos 210° d) tg 210° < cos 210° < sen 210° e) sen 210° < tg 210° < cos 210° 11. O período e a imagem da função f(x) = 5 - 3 cos [(x-2)/π], x ∈ R, são, respectivamente, a) 2π e [-1, 1] b) 2π e [2, 8] c) 2π2 e [2, 8] d) 2π e [-3, 3] e) 2π2 e [-3, 3] 12. Uma bomba de água aspira e expira água a cada três segundos. O volume de água da bomba varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t). a) y = 2 + 2 sen [(π/3) . t] b) y = 2 + 2 sen [(2π/3) . t] c) y = 3 + sen [(π/3) . t] d) y = 3 + sen [(2π/3) . t] e) y = - 3 + 2 sen [(π/3) . t] 13. Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos, em reais, de acordo com a lei C(t) = 200 + 120 . sen (π.t)/2, com t medido em horas de trabalho. Assim, os custos máximos e mínimo desse produto são a) 320 e 200 b) 200 e 120 c) 200 e 80

15. A temperatura, em graus Celsius (°C), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, das 0 hora às 24 horas, é dada aproximadamente pela função: π π f(t) = cos t - cos t, 0 ≤ t ≤ 24, com t em horas. 6 12 Qual a temperatura da câmara frigorífica às 2 horas? (use as aproximações 2 = 1,4 e 3 = 1,7) a) -1°C b) 0°C c) 0,35°C d) 0,70°C e) 1°C GABARITO 1. C 5. B 9. V V F 13. D 15. C

2. D 3. D 4. C 6. B 7. A 8. B 10. B 11.C 12. D 14. a) outubro b) dezembro

Exercícios – Nível 2 16. Em física, a posição de uma partícula pontual em um oscilador harmônico é dada pela função trigonométrica abaixo: x = A  cos φ

Onde: x é a posição da partícula, amplitude de oscilação e φ é a fase.

A

é

Considerando que a amplitude de oscilação é de 4 cm qual a posição da partícula quando a 2π radianos? 3 a) −4 cm. b) −2 cm. c) 0.

fase é

d) 2 cm.

e) 4 cm.

17. Sendo a maré representada por uma função periódica, e supondo que a função que descreve melhor o movimento da maré em Salvador - BA é dada pela expressão: A(t) = 1,8 + 1,2 sen(0,5 πt + 0,8 π), t é o tempo em

horas 0  t  24. Sendo assim, as alturas máxima e mínima da A(t) maré descrita pela função são, respectivamente: a) 3,0 m e 0,6 m b) 3,0 m e 0,8 m c) 2,5 m e 0,6 m e) 2,8 m e 0,6 m

d) 2,5 m e 0,8 m

18. Um professor de Matemática, ao acompanhar o desfile da Oktoberfest, percebeu que havia um ponto marcado na roda de uma carroça, representado abaixo como ponto A. Ele percebeu, ainda, que a carroça se deslocava a uma velocidade constante e que a roda, com 1 m de diâmetro, levava 3 segundos para completar uma volta. Considere que o ponto A toca o solo e atinge a maior altura possível. Sobre a função que descreve a altura em que o ponto A está em relação ao solo (em metros), em função do tempo (em segundos), é CORRETO afirmar que:

a) A função é afim, e seu coeficiente angular é 3. b) A função é periódica, sua imagem é o conjunto [0, 1] e seu período é 3 segundos. c) A função pode ser representada pela equação y = 3x + 1, em que x corresponde ao tempo decorrido em segundos e, y, à altura do ponto A. d) A função pode ser representada pela equação y = x + 3, em que x corresponde ao tempo decorrido em segundos e, y, à altura do ponto A. e) A função pode ser representada pela equação y = 3x² + 1, em que x corresponde ao tempo decorrido em segundos e, y, à altura do ponto A. 19. A conta de luz de certa residência, ao longo do ano de 2014, variou segundo a função π  V(t) = 180 + 65  sen   t , em que V(t) é o valor 2  pago na fatura e t é o mês do ano, com t = 1 correspondendo a janeiro, e assim sucessivamente. Com base nos dados, analise as seguintes proposições: I. O valor mínimo registrado na fatura foi de R$ 65,00. II. O valor máximo registrado na fatura foi de R$ 245,00. III. No sétimo mês o valor pago foi de R$ 115,00. Estão corretas as afirmativas a) I e III apenas. b) I e II apenas. c) II e III apenas. d) I, II e III. 20. Um ponto A, que se movimenta sobre uma p(t), circunferência, tem sua posição considerada na vertical, no instante t, descrita pela relação p(t) = 100 − 20 sen (t), para t  0. Nesse caso, a medida do diâmetro dessa circunferência é a) 30 b) 40 c) 50 d) 80 e) 120 21. Em estudo divulgado recentemente na The Optical Society of America, pesquisadores da Tong University revelaram uma forma de transmitir dados de comunicação de forma segura utilizando as águas dos mares como meio de transporte das informações. No artigo, os

cientistas apresentam o seguinte gráfico como parte dos resultados.

Nessa situação, o valor de a  b é a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7

Uma função trigonométrica que modela razoavelmente bem a curva indicada por A no gráfico do artigo, com x em graus e y em “coincidências em 1 s ", é a) y = 22.000 + cos (x). b) y = 22.000 + 10.000 cos (2x). c) y = 22.000 + sen (4x). d) y = 11.000 + sen (2x). e) y = 11.000 + 10.000 sen (4x).

π  a) 1,515 + 1,485.cos  t  6  π  b) 1,515 + 1,485.sen  t  6  π  c) 1,485.cos  t  6  π  d) 1,485.sen  t  6 

esboço

do

 8π  P(t) = 100 − 20cos  t  3  onde t é dado em segundos. Cada período dessa função representa um batimento cardíaco. Analise as afirmativas: I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto. II. A pressão em t = 2 segundos é de 110mmHg. III. A amplitude da função P(t) é de 30 mmHg. Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III.

e) 1,485 + 1,515.cos ( πt ) O

d) sen(1000) = −sen(1000) e) sen(1000) = − cos(1000) 25. Cerca de 24,3% da população brasileira é hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em mmHg) de um certo indivíduo é expressa em função do tempo por

22. Um terremoto de magnitude 8 graus da escala Richter atingiu, em setembro de 2009, a região de Samoa. O terremoto causou ondas de até 3 metros. A maré alta neste local ocorreu à meia-noite. Suponha que o nível de água na maré alta era de 3 metros; mais tarde, na maré baixa, era de 3 cm. Supondo que a próxima maré alta seja exatamente ao meio-dia e que a altura da água é dada por uma curva seno ou cosseno, qual das alternativas a seguir corresponde à fórmula para o nível da água na região em função do tempo?

23.

24. Assinale a alternativa correta a) sen(1000)  0 b) sen(1000)  0 c) sen(1000) = cos(1000)

gráfico

da

função

f(x) = a + b cos(x) é mostrado na figura seguinte.

26. Uma loja do ramo de som vende instrumentos musicais e renova todo mês seu estoque de violas em 60 unidades. A função que aproxima o estoque de violas da loja ao longo do mês é

  πx   f(x) = 30  cos   + 1 , sendo que x é o dia do  30    mês (considerando o mês comercial de 30 dias) e f(x) é o estoque ao final do dia x. Nos termos apresentados, é correto afirmar que

a) ao final do mês, metade do estoque ainda não foi vendido. b) a loja vende metade do seu estoque até o dia 10 de cada mês. c) no dia 15 de cada mês, metade do estoque do mês foi vendido. d) ao fim do mês, a loja ainda não vendeu todo o estoque de violas. e) o estoque em um determinado dia do mês é exatamente metade do estoque do dia anterior. 27. A razão entre o maior e o menor número inteiro que pertencem ao conjunto imagem da 2π   função trigonométrica y = −4 + 2cos  x − é 3   a) 2. 1 b) . 3 c) – 3.

1 2

na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenças respiratórias. Suponha que a função π  N ( x ) = 180 − 54cos  ( x − 1)  6  

represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Saúde, com x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, ao mês de fevereiro e assim por diante. A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a a) 693. b) 720. c) 747. d) 774. e) 936.

d) − . 31. O maior valor que o número real

28. A figura a seguir representa um esboço do gráfico de uma função y = A + Bsen  x  , que é 4

muito útil quando se estudam fenômenos periódicos, como, por exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Então, o produto das constantes A e B é

d) 6

e)

c) 10

20 7

32. Na estação de trabalho de pintura de peças de uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido varia com o tempo conforme a expressão

a) 6 b) 10 c) 12 d) 18 e) 50

P(t)=50+50sen[t-(π/2)], t>0.

29. Suponha que o deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante seja dado pela equação s ( t ) = 10 +

pode assumir é 20 7 a) b) 3 3

10 sen x 2− 3

1 sen (10 πt ) , em que t é 4

o tempo, em segundos, após iniciado o movimento, e s, medido em centímetros, indica a posição. Meio segundo após iniciado o movimento da corda, qual é, em cm, o afastamento da partícula da posição de repouso? a) 0 b) 0,125 c) 0,25 d) 10 e) 10,25 30. Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar

Assinale a alternativa em que o instante t corresponda ao valor mínimo da pressão. a) t = π/2 b) t = π c) t = 3π/2 d) t = 2π e) t = 3π 33. A figura mostra a órbita elíptica de um satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse estão assinalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra e o ângulo PÔS tem medida á, com 0° ≤ α ≤ 360°.

a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s.

A altura h, em km, do satélite à superfície da Terra, dependendo do ângulo á, é dada aproximadamente pela função h =     7980   2   ×10 . −64 +  100 + 5 cos α )     (  Determine: a) A altura h do satélite quando este se encontra no perigeu e também quando se encontra no apogeu.

b) os valores de α, quando a altura h do satélite é de 1.580 km.

34. Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago possa ser descrita pela função π  F(t) = 21 − 4cos  t , sendo t o tempo em horas  12  medido a partir das 06h00 da manhã. a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas?

b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23ºC?

35. Suponha que a expressão P = 100 + 20 sen(2  t) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.

b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?

Gabarito: Resposta da questão 16: [B] Substituindo os valores temos:  2π   1 x = A  cos φ = 4  cos  = 4   −  = −2   3   2 Resposta da questão 17: [A] sabendo que uma função y = sen(x) possui como ponto de partida o valor zero no eixo x e eixo y, e, sabendo que a curva A(t) se deslocará verticalmente para cima em 1,8 e terá altura (amplitude) de 1,2 , temos que o ponto máximo da função será: 1,8 + 1,2 = 3,0 m.

O diâmetro (d) da circunferência é dado pela diferença entre o máximo e mínimo da função, logo, d = 120 − 80 d = 40 Resposta da questão 21: [E]

E, seu ponto mínimo será: 1,8 − 1,2 = 0,6 m.

Resposta da questão 18: [B] Como a velocidade é constante depois que o ponto A atingir a altura máxima, por exemplo, leva mais três segundos para retornar a esta posição, isto nos mostra que a função é periódica, cujo período é de 3 s. O conjunto

Dentre as opções, as únicas que possuem valor inicial próximo de 10000 são as das alternativas [D] e [E]. Ademais, como a função inicialmente π , podemos é crescente e seu período é 2 concluir que a função que modela razoavelmente bem a curva indicada por A no gráfico do artigo é a da alternativa [E].

Imagem é formado pela menor e maior alturas alcançadas pelo ponto A, ou seja, [0, 1].

Resposta da questão 22: [A]

Resposta da questão 19: [C]

Período = 12 , então

[I] INCORRETA. O valor mínimo da função seno é zero, portanto o valor máximo que o termo π  pode assumir é zero. Assim, sen   t  2  V(t) = 180 + 65  0 = 180. Portanto, o valor mínimo possível registrado na fatura seria de R$ 180,00.

Altura máxima: a + b.1 = 3 Altura mínima a + b(-1) = 0,03

[II] CORRETA. O valor máximo da função seno é 1, portanto o valor máximo que o termo π  pode assumir é 1. Assim sen   t  2  V(t) = 180 + 65  1 = 245. Portanto, o valor máximo possível registrado na fatura seria de R$ 245,00.

a= 1,515 e b =1,485

[III] CORRETA. No sétimo mês t = 7, logo:

H(t) = a + b.cos(m.t) 2   = 12  m =   m = 6 6 m

Resolvendo um sistema com as equações acima, temos:

π  logo h(t) = 1,1515 + 1,485.cos  t  6  Resposta da questão 23: [D] f(0) = 5  a + b  cos0 = 5  a + b = 5 f( π ) = 1  a + b  cos π = 1  a − b = 1

π   3π  V(t) = 180 + 65  sen   7  = 180 + 65  sen   = 180 + 65  ( −1) → V(t) = 115 reais 2   2 

Resolvendo o sistema temos a = 3 e b = 2.

Resposta da questão 20: [B]

Portanto, a  b = 6.

De p ( t ) = 100 − 20sen t, t  0, temos o gráfico

Resposta da questão 24: [A]

abaixo:

Note que 1000 = 2  360 + 280. Por conseguinte, sendo 280 um arco do quarto quadrante, vem que sen(1000) = sen(280)  0.

Resposta da questão 25: [B] [I] Verdadeira. A frequência cardíaca em segundos: 1 1 4 = = , em minutos basta   3 3  2π  4    8 π   3  8π   P(2) = 100 − 20   cos  2π  multiplicar por 60, o 3  

Lembrando que uma função está bem definida apenas quando são fornecidos o domínio, o contradomínio e a lei de associação, vamos supor que o domínio seja o conjunto dos números reais, e que o contradomínio seja o intervalo [ −1, 5]. Desse modo, como a imagem da função seno é o intervalo [ −1, 1], deve-se ter A + B[ −1, 1] = [ −1, 5]  [A − B, A + B] = [ −1, 5].

que resulta em 80 batimentos por minuto. Os únicos valores de A e de B que satisfazem a igualdade são A = 2 e B = 3. Por conseguinte,

[II] Verdadeira. Pois 8π   P(2) = 100 − 20   cos  2 = 3  

A  B = 2  3 = 6.

16 π   = 100 − 20   cos = 3    4π    = 100 − 20   cos  2  2π + = 3      1 = 100 − 20   −  =  2 = 110mmHg.

[III] Falsa. A amplitude da função é de 20mmHg.

Resposta da questão 29: [A] O afastamento vertical da partícula, em relação à posição inicial, após meio segundo, é 1 1  1  1   s   − s(0) = 10 + sen 10 π   − 10 + sen(10 π  0) 4 2  4 2   1 1 = 10 + sen(5 π) − 10 − sen0 4 4 = 0.

Resposta da questão 30: [B]

Resposta da questão 26: [C] [A] Falsa, pois π;30   f(30) = 30  cos + 1 = 30( −1 + 1) = 0. 30  

Sabendo-se que ângulos suplementares têm cossenos simétricos, concluímos que:

[B] Falsa, pois

  π 2π f(1) + f(3) + f(5) + f(7) = 4  180 − 54   cos0 + cos + cos + cos π  3 3   = 720.

π;10   1  f(10) = 30  cos + 1 = 30  + 1 = 45. 30   2 

Resposta da questão 31: [D]

[C] Verdadeira, pois π;15   f(15) =  cos + 1 = 30(0 + 1) = 30. 30  

[D] Falsa, pois f(30) = 0. [E] Falsa, pois os únicos valores inteiros são de f(x) são f(30), f(10) e f(15). Resposta da questão 27: [B] Supondo que a função esteja definida de em , segue-se que a sua imagem é Im = [ −4 + 2  ( −1), − 4 + 2  1] = [ −6, − 2].

Portanto, o resultado é igual a Resposta da questão 28: [A]

−2 1 = . −6 3

10 sen x assume o seu maior valor 2− 3 quando sen x for máximo, ou seja, quando senx = 1. O número

Por conseguinte, o resultado pedido é

10 10 10 = = = 6. sen x 1 5 2− 2− 3 3 3 Resposta da questão 32: [D] t – (π/2) = 3π/2 t = 4π/2 t = 2π Resposta da questão 33: a) 1200 km e 2000 km b) α = 90º ou α = 270º

quando sen(2t) = −1  sen(2t) = sen  2t =

Aplicando o teorema dos cossenos, temos:

(3 3 )

2

= x 2 + x 2 − 2  x  x  cos120

 1 27 = 2x 2 − 2x 2   −   2 27 = 3x 2 x2 = 9 x = 3

Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 3 cm. Resposta da questão 34: a)   π  valor máximo ocorre para cos  12 t  = −1  F(máx) = 21 − 4(−1) = 25     π  F(t) = 21 − 4cos  t     12  valor mínimo ocorre para cos  π t  = +1  F(máx) = 21 − 4(+1) = 17     12  

Portanto, a temperatura varia de 17°C a 25°C na superfície do lago. b) Para t = ? temos F(t) = 23 . Logo:  π   π   π  F(t) = 21 − 4cos  t   21 − 4cos  t  = 23  4cos  t  = −2  12   12   12  1  π   cos  t  = − 2  12  Logo : π 2π π 4π t= ou t= 12 3 12 3 t = 8h

ou

t = 16h

Porém, o tempo em horas foi medido a partir das 06h da manhã, o que nos permite afirmar que a temperatura de 23°C foi atingida às: t1 = 6h + 8h = 14h e t 2 = 6h + 16h = 22h

Resposta da questão 35: a) Para t = 0 s, temos P = 100 + 20  sen(2  0) = 100mm de Hg.

Para t = 0,75 s, vem P = 100 + 20  sen(2  0,75) = 100 − 20 = 80mm de Hg.

b) A pressão sanguínea atingiu seu mínimo

t=

3 2

3 = 0,75 s. 4

3 2
Aula Elementar 18 -Funções Trigonométricas

Related documents

10 Pages • 4,362 Words • PDF • 726.2 KB

40 Pages • 1,442 Words • PDF • 7.5 MB

21 Pages • 947 Words • PDF • 368.1 KB

10 Pages • 1,437 Words • PDF • 1.5 MB

182 Pages • PDF • 83 MB

12 Pages • 3,476 Words • PDF • 417.5 KB

2 Pages • 693 Words • PDF • 348.6 KB

19 Pages • 2,706 Words • PDF • 8.4 MB

10 Pages • 1,276 Words • PDF • 611.8 KB

50 Pages • 3,155 Words • PDF • 815 KB

228 Pages • 69,382 Words • PDF • 11.4 MB

51 Pages • 1,212 Words • PDF • 3.2 MB