clase 6-Números Enteros

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Números Enteros

Números Enteros Se dice que a es un número entero si 1. a = 0

2. a  IN números naturales 3. – a con a  IN números naturales

El conjunto de números enteros Z = Z-  { 0 }  Z+ siendo Z- el conjunto de los números enteros negativos.

Z+ el conjunto de los números enteros positivos.

Representación en la recta real a y – a son números opuestos ...

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

...

División Entera La división en el conjunto de números enteros no es una operación cerrada pues si queremos dividir dos números enteros no siempre dá por resultado un número entero.

Por ello se define la división entera

D r

d

D = d.c + r

con 0  r < I d I

c

D dividendo d divisor

c cociente r resto

Recibe el nombre de “Algoritmo de la División”

Ejemplos: 9

4

9 = 4.2 + 1 1

con 0  1 < 4

2

18 4 2 5 18  4 2 4 21 4 3

6

 18  4   5  2

18   4   4   2

 21  4  6  3

con 0  2  4

con 0  2  4

con 0  3  4

Divisibilidad Definición: Sean a, b  Z con a  0. Decimos que a divide a b en Z si  c  Z / b = c.a Se indica a I b Se lee: a divide a b

a es divisor de b

b es múltiplo de a

b es divisible por a

Propiedades 1.  a  Z, a  0: a I a 2.  a, b, c  Z, a  0  b  0: a I b  b I c  a I c

3.  a, b, c  Z, a  0: a I b  a I c  a I b + c 4.  a, b  Z, a  0: a I b  k  Z  a I k.b 5.  a, b, c  Z, a  0: a I b  a I c  a I x.b + y.c

con x , y enteros

Números primos: Sea p  Z, p es un número primo si admite exactamente 4 divisores a saber 1, -1, p, -p. Números compuestos: Si a  -1, a  0, a  1 y no es primo se dice compuesto

Observación: Los números -1, 0, y 1 no son primos ni compuestos, son casos particulares Hay infinitos números primos. (Euclides – Los Elementos 300 A.C.) Número par: Es a = 2k, k  Z Número impar: Es a = 2k + 1, k  Z

Teorema fundamental de la aritmética Todo número entero distinto de -1, 0 y 1, es o bien primo o se puede escribir como producto de factores primos de manera única salvo el orden.

Ejemplo:

72 2 36 2

18 2 9 3 3 3

1

72 =

23

.

32

132

2

66

2

33

3

11

11

1

132 = 22 . 3 . 11

Los primos cumplen muchas propiedades que no cumplen los números compuestos Ejemplo:

d a  b  d a  d | b Ejemplo 6 | 4  3 pero 6 | 4 y 6 | 3 p a b  p a  p | b Cantidad de Divisores de un Número Compuesto Si a un número entero tal que

a  1 y a  p11  p22  pk k

El número de divisores de a es Da  1  1 2  1· · · k  1

Ejemplo 720 = 24 · 32 · 5 luego el número de divisores de 720 es | D720| = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 30

Máximo Común Divisor Sean a, b  Z no simultáneamente nulos existe un único número entero positivo d tal que:

1. d I a  d I b 2. si c  Z+ es tal que c I a  c I b  c I d Ese número d se llama máximo común divisor entre a y b.

Se indica d = m.c.d. { a, b } o bien d = ( a, b ) Ejemplo: 72 = 23 . 32

y

132 = 22 . 3 . 11

m.c.d. { 72, 132 } = 22 . 3 = 12 O bien ( 72, 132 ) = 12 El máximo común divisor se obtiene como el producto de los factores comunes elevados al menor exponente.

Propiedades del mcd •(a; a + 1) = 1 •mcd(a, b) = mcd(a, −b) = mcd(−a, b) = mcd(−a, −b) = mcd(|a|, |b|)

•Si a|b entonces mcd(a, b) = |a|. •mcd(a, mcd(b, c)) = mcd(mcd(a, b), c) = mcd(a, b, c) •mcd(ac, bc) = mcd(a, b) · c

•mcd (a, b) = mcd (b, a−b) mcd (20, 12) = 4 mcd (12, 20 - 12) = mcd (12, 8) = 4

•Para todo k, (a; ka + b) = (a; b). En particular, (a; b + a) = (a; b − a) = (a; b) • (a, b) = (b, r) •Si d = mcd {a, b} → ꓱx, y ϵ Z / d = x . a + y . b

Identidad de Bezout

•Si a y b son dos números enteros y m. c. d. { a, b } = 1 entonces se dicen coprimos o primos entre si.

Algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor Sean a y b números enteros con b > 0 aplicando reiteradamente el algoritmo de la división se tienen las siguientes ecuaciones recursivas.

a

b

r1

q1

b

r1

r2

q2

r1

r2

r3

q3

a = b . q1 + r1 0  r1 < b Ahora bien, (a; b) = (b; r1) Si r1 = 0 entonces el mcd {a , b} = b r1 ≠ 0, podemos dividir b por r1, obteniendo un nuevo cociente q2 y un nuevo resto r2 de modo que b = r1 . q2 + r2 con 0  r2 < r1 Ahora (a; b) = (b; r1) = (r1; r2) Si r2 = 0 entonces el mcd {a , b} = r1 r2 ≠ 0, podemos dividir r1 por r2, obteniendo un nuevo cociente q3 y un nuevo resto r3 de modo que r1 = r2 . q3 + r3 con 0  r3 < r2 Ahora (a; b) = (b; r1) = (r1; r2) = (r2; r3) Si r3 = 0 entonces el mcd {a , b} = r2 Si r3 ≠ 0 seguimos

Eventualmente, para algún n, rn+1 es cero, donde termina el proceso

Luego (a; b) = (rn−1; rn) = rn.

Ejemplo: Buscar el máximo común divisor entre 120 y 75, además escribirlo como combinación lineal entera 120 75

120 = 1 . 75 + 45

45

30

1

15

1

75

45

30

15

30

1

0

2

45

75 = 1 . 45 + 30

45 = 1 . 30 + 15

30 = 2 . 15 + 0

m. c. d. { 120, 75 } = 15 45 = 1 . 30 + 15 → 15 = 45 - 30

15 = 45 – 30

75 = 1 . 45 + 30 → 30 = 75 - 45

15 = 45 – ( 75 – 45 ) = 2 . 45 – 75

120 = 1.75 + 45 → 45 = 120 - 75

15 = 2 ( 120 – 75 ) – 75 = 2 . 120 – 3. 75 15 = 2 . 120 + ( - 3 ) . 75

Ejemplo: Halle M.C.D.(720, 224)

720 224 48

3

224 48

48 32

32 16

32 4

16 1

0

720  2243 48

 720  2243 48

224  484 32



224  484 32

48  321  16



4832 16

2

48  224  484 16 224  48 5 16

224   720  2243  5 16 224  720  5  22415  16 720  5  22416  16  5  720   16 224 16

Ejemplo: Halle M.C.D.(720, 224) FORMA MATRICIAL: Primero se coloca la matriz identidad de orden 2, y en una tercer columna los dos números enteros, siendo el mayor el de la primera fila.

La idea es ir obteniendo nuevas filas, siempre operando con las últimas dos anteriores, de modo de restar de la anteúltima la mayor cantidad de veces que entra el término independiente de la última. Al dividir 720 por 224, se obtiene cociente 3, entonces vamos a restar 3 veces la fila 2 de la fila 1, la resta se hace en toda la fila:

Y luego seguimos este procedimiento hasta llegar a un valor nulo. El anterior al nulo es el máximo común divisor.

Obtenemos que m.c.d.(720,224) = 16 y además:

16   5 720   16   224

Mínimo Común Múltiplo Sean a, b  Z no simultáneamente nulos existe un único número entero positivo m tal que: 1. a I m  b I m 2. si k  Z+ es tal que a I k  b I k  m I k Ese número m se llama mínimo común múltiplo entre a y b

Se indica m = m.c.m. { a, b } o bien m = [ a, b ] Ejemplo: 36 = 22 . 32 60 = 22 . 3 . 5 m.c.m. { 36, 60 } = [ 36, 60 ] = 22 . 32 . 5 = 180 El mínimo común múltiplo se obtiene como el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

Propiedad del MCM y MCD:

 a, b    a, b

 a b
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