E2.0 - Funciones - Metodos auxiliares

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1 Raíces Cuando trabajamos con funciones es frecuente hablar de Raíces, pero ¿qué significa eso? Simplemente hace referencia a punto/s en los que gráficamente hablando una función “corta” al eje X. Si hablamos desde un punto de vista analítico será apropiado decir que las raíces son los valores de x que hacen que f(x)=0. Podemos afirmar además que las raíces de las funciones tendrán tantas raíces como indique el término de x de mayor grado. En otras palabras una función lineal (de una recta) tendrá una sola raíz puesto que el termino de x de mayor grado es de grado 1. Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 En una función cuadrática (parábola), el término de x de mayor grado es de grado 2, por lo tanto dichas funciones tendrán 2 raíces. Y así sucesivamente. Pero, SIEMPRE hay un pero, esta relación NO ES UNA REGLA ABSOLUTA. Hay casos excepcionales por ejemplo una parábola que no corta al eje x no tendrá raíces en el conjunto de los Números Reales, o como por ejemplo también, cuando estemos frente a una ecuación de una recta horizontal, es decir paralela al eje X obviamente nunca entrará en contacto con este último.

2 Fórmula de Bhaskara o de las Raíces Bhaskara fue un matemático indio (en Wikipedia hay buena info biográfica si le interesa, a mí no) que desarrolló una fórmula para calcular de manera directa y rápida las raíces de las funciones cuadráticas. La misma se aplica al 100% de dichas funciones cuya forma general sea 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, y a partir del análisis de su resultado podemos determinar además si corta o no al eje. La fórmula que tal vez ya conozcan es: 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 2∙𝑎

Cada elemento a,b,c hace referencia a los coeficientes de la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, y la ausencia de cualquiera de los términos generales debe ser interpretado como que el elemento en cuestión vale cero. Ejemplo 𝑥2 + 2 = 0 En esta ecuación está ausente el término lineal perteneciente a ‘b’, por lo tanto b=0. Un problema en esta fórmula se nos presenta cuando el radicando de la raíz termina siendo un valor negativo. ¿Qué ocurre aquí? Una raíz con radicando negativo no tiene solución en el conjunto de los números reales, sino que su resultado es un número imaginario que pertenece al conjunto de los números complejos que NO vamos a analizar aquí. Sólo basta que tengamos en cuenta que si

esta situación se presenta LA FUNCIÓN NO CORTA AL EJE X, que es lo mismo que afirmar que NO TIENE RAÍCES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. Por ejemplo: 𝑦 = 𝑥 2 + 2

𝑎 = 1; 𝑏 = 0; 𝑐 = 2 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 −0 ± √02 − 4 ∙ 1 ∙ 2 0 ± √−8 0 ± √8. (−1) ±√8. √−𝟏 = = = = 2∙𝑎 2∙1 2 2 2

Ahí está la Raíz de -1. El problema de esto está en que no existe un número que elevado al cuadrado sea igual a 1. Vayamos ahora a un ejemplo soluble:

𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 La fórmula de Bhaskara es la siguiente 𝑥1,2 =

−𝑏±√𝑏2 −4∙𝑎∙𝑐 2∙𝑎

, obteniendo los parámetros a,b,c

a partir de la formula general de las ecuaciones cuadráticas: 𝑎 ∙ 𝑥2 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 = 0 Así tendremos (𝑎 = 1; 𝑏 = −1; 𝑐 = −2) y al reemplazar los valores en Bhaskara: 𝑥1,2 =

−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−2) 1 ± √1 + 8 1 ± √9 1 ± 3 = = = 2∙1 2 2 2

En este punto de resolución de la fórmula tenemos que trabajar con el ± y pasamos a calcular x1 (utilizando sólo el signo más +) y x2 (utilizando sólo el signo -): 𝑥1 = 𝑥2 =

1+3 4 = =2 2 2

1−3 2 = − = −1 2 2

3 Regla de Ruffini o del Resto Esta regla es una forma de división que tiene la ventaja de simplificar la división de polinomios valiéndonos de los coeficientes de cada uno de los términos de la ecuación INCLUYENDO al término independiente (el que no tiene variable X o como sea que llamemos a la variable independiente). Para desarrollar el método dejo un video de JulioProfe en el cual queda explicada muy claramente la Regla de Ruffini con un ejemplo de ecuación de grado 3 y otra de grado 4. Cabe destacar que aproximadamente poco después de la mitad del video comienza una explicación de uso de calculadora que no resulta relevante, puesto que trabaja sobre una marca y modelo puntual que seguramente NO TODOS tengamos a disposición. Aquí los enlaces: http://bit.ly/ReglaRuffini3 http://bit.ly/ReglaRuffini4

Claramente podremos encontrarnos con ecuaciones de mayor grado, en tal caso deberemos recurrir a trucos por llamarlo de alguna manera para poder trabajar con estas herramientas de manera más simple, por ejemplo, podríamos estar en presencia de ecuaciones bicuadráticas. El siguiente video muestra cómo resolver tales ecuaciones: http://bit.ly/Bicuadradas Por supuesto también podemos recurrir a la resolución de las mismas por regla de Ruffini, solo que llevará algo más de trabajo. Tomaré la primer ecuación que muestra el video y la resolveremos mediante Ruffini: 𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36 𝑃(36) = {±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±9; ±12; ±18; ±36} 𝑞(1) = {±1} 𝑃(36) = {±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±9; ±12; ±18; ±36} 𝑞(1)

1

0

-13

0

36

1

1 1

1 -12

-12 -12

-12 24

1

0

-13

0

36

1

-1 -1

1 -12

12 12

-12 24

X=1

X=-1

1

0

-13

0

36

1

2 2

4 -9

-18 -18

-36 0

X=2

Como el resto es cero, encontramos la primera raíz. X=2. Así la ecuación queda planteada parcialmente así: (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 3 + 2𝑥 2 − 9𝑥 − 18) Podemos a partir de esta nueva forma de la ecuación continuar con la parte que ahora se plantea como una ecuación de grado 3 y partiendo de las posibles raíces P/q que no hayamos probado aún con Ruffini: 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 9𝑥 − 18 𝑃(18) = {±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18} 𝑞(1) = {±1} 𝑃(36) 𝑞(1)

= {±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18}; pero obviaremos las posibles raíces {±1; +2} dado que ya las

probamos poco más arriba y ya se demostró que no son raíces.

1

2

-9

-18

1

-2 0

0 -9

18 0

X=-2

Como el resto es cero, encontramos la segunda raíz. X=-2. Así la ecuación queda planteada parcialmente así: (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 2 − 9)

Así obtenemos una nueva ecuación en la cual observamos una ecuación cuadrática (𝑥 2 − 9), en la cual tenemos 2 cursos de acción posibles, el primero y más sencillo (EN ESTE CASO) es despejar la x puesto que aparece UNA SOLA VEZ en la ecuación, y el segundo es aplicar la fórmula de las raíces o Bhaskara. Haré las 2:

Despejando X

Aplicando Bhaskara 𝑥2 − 9 = 0

𝑥2 − 9 = 0

𝑥2 = 0 + 9

𝑥1,2 =

𝑥 = ±√9 𝑥1 = +3 ; 𝑥2 = −3

𝑥1,2 =

En este caso es importante remarcar que al pasar la potencia par como raíz par HAY QUE ANTEPONER A LA RAIZ EL SIGNO ±

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−0 ± √02 − 4.1. (−9) 2.1 𝑥1,2 =

𝑥1 =

+√36 2

𝑥1 =

6 2

±√36 2

; ;

𝑥1 = 3 ;

𝑥2 = 𝑥2 =

−√36 2

−6 2

𝑥2 = −3

Observamos así que por medio de ambos métodos llegamos al mismo resultado. Del desarrollo de este ejemplo podemos afirmar que una ecuación de grado superior a 3 puede resolverse por más de un método según convenga en el estadío de resolución en que nos encontremos, por ejemplo si vamos al momento que iniciamos la aplicación de Ruffini a la ecuación de grado 4 hasta encontrar la primer raíz, volvimos a expresar la ecuación ahora como 2 factores, uno de primer grado y otro de 3er grado. Para seguir aplicando Ruffini podríamos haber continuado con los coeficientes de la ecuación original o bien como se muestra en el ejemplo haber tomado el factor de la ecuación de grado 3, hasta encontrar un nuevo factor de primer grado y el restante de 2do grado, y a partir de este último utilizar ya no Ruffini, sino Bhaskara o (si hubiera solo un término con x) despejando la variable independiente. En resumen las cuatro raíces son: -3; -2; 2; 3 y la ecuación factorizada deberíamos construirla según la siguiente forma general: 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1 ) ∙ (𝑥 − 𝑥2 ) ∙ (𝑥 − 𝑥3 ) ∙ … ∙ (𝑥 − 𝑥𝑛 ) Siendo las raíces: 𝑥1 = −3 𝑥2 = −2 𝑥3 = 2 𝑥4 = 3 Entonces: 𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36 = (𝒙 + 𝟑) ∙ (𝒙 + 𝟐) ∙ (𝒙 − 𝟐) ∙ (𝒙 − 𝟑) Noten que cada vez que reemplazamos el valor de alguna de las raíces debemos acompañar una x por una raíz con signo opuesto según propone la forma general de la ecuación o función factorizada.
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