# Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

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Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son aquellas de la forma, o que, mediante manipulaciones algebraicas pertinentes, pueden llevarse a escribir como: 𝑑𝑦

(𝑥 )𝑦 = 𝑄 (𝑥 )𝑦 𝑛 , 𝑛 𝜖 ℝ (1) + 𝑝 𝑑𝑥

Es de notar que si n = 0 ó n = 1 entonces la ED (1) es lineal y se puede resolver, por ejemplo, hallando un factor de integración adecuado como se explica en la sección correspondiente. Ahora bien, si n es difieren de 0 y de 1, entonces se trata de una ecuación diferencial no lineal; sin embargo, mediante un método ingeniado por Leibniz en 1696, es posible reducirla a una ecuación lineal usando la sustitución: 𝑣 = 𝑦 1−𝑛 Veamos: Sea

𝑣 = 𝑦 1−𝑛 (𝑛 ≠ 0{0, 1}, 𝑑𝑣

𝑦 𝑛 𝑑𝑣

𝑑𝑦

(1 − 𝑛)𝑦 −𝑛 ↔ = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1−𝑛 𝑑𝑥

Y

𝑦𝑛 = 𝑣

(2)

𝑦

Sustituyendo (2) en (1), se obtiene: 𝑦 𝑛 𝑑𝑣

𝑦

+ 𝑝(𝑥 )𝑦 = 𝑄(𝑥 ) 𝑣 , 1−𝑛 𝑑𝑥  

𝑦

𝑑𝑣

1

𝑑𝑣

𝑦

+ 𝑝(𝑥 )𝑦 = 𝑄(𝑥 ) 𝑣 𝑣(1−𝑛) 𝑑𝑥 1

+ 𝑝(𝑥 ) = 𝑄(𝑥) 𝑣 𝑣(1−𝑛) 𝑑𝑥

{𝑦 𝑛 = 𝑦/𝑣}, {dividiendo cada termino por 𝑦};

𝑑𝑣 𝑑𝑥

+ (1 − 𝑛)𝑝(𝑥 )𝑣 = (1 − 𝑛)𝑄(𝑥)

↑ multiplicando cada termino por v(1-n) (3) La (3) es una ecuación lineal que se debe resolver v y por ultimo tornar a sustituir a v por y1-n . EJEMPLO: Resolver la siguiente ecuación: 𝑥 2 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 5𝑦 3 Solución: 𝑑𝑦

𝑥 2 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 5𝑦 3 ↔ 𝑑𝑥 + 2𝑥 −1 𝑦 = 5𝑥 −2 𝑦 3 (1) La ecuación (1) es una ecuación de Bernoulli con 𝑝(𝑥 ) = 2𝑥 −1 , 𝑄 (𝑥 ) = 5𝑥 −2 𝑦 𝑛 = 3. Sea 𝑣 = 𝑦 1−3 ↔ 𝑣 = 𝑦 −2 , →

Y

𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑑𝑦 1 3 𝑑𝑣 𝑑𝑦 1 𝑑𝑣 −3 −3 = −2𝑦 ↔ =− 𝑦 ↔ =− 𝑣 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 −1/2 {𝑦 = 𝑣 }

(2)

𝑦 = 𝑣 −1/2

Sustituyendo (2) en (1), se obtiene: 1 3 1 𝑑𝑣 −3 − − −1 −2 − 𝑣 2 + 2𝑥 𝑣 2 = 5𝑥 𝑣 2 ↔ 𝑣 ′ − 4𝑥 −1 𝑣 = −10𝑥 −2 (3) 2 𝑑𝑥 La (3) es una ecuación lineal simple con 𝑝(𝑥 ) = −4𝑥 −1 , por lo que un factor integrante adecuado está dado por:

𝜇(𝑥 ) = 𝑒𝑥𝑝 ∫ −4𝑥 −1 𝑑𝑥 ↔ 𝜇(𝑥 ) = exp(𝐼𝑛𝑥 −4 ) ↔ 𝜇(𝑥 ) = 𝑥 −4 (4)

Al multiplicar a (3) por 𝑥 −4 , se obtiene: →

𝑥 −4 𝑣 ′ − 4𝑥 5 𝑣 = −10𝑥 −6 ↔ (𝑥 −4 𝑣 )′ = −10𝑥 −6 , 𝑥 −4 𝑣 = 10 ∫ 𝑥 −6 𝑑𝑥 ↔ 𝑥 −4 𝑣 = 2𝑥 −5 + 𝐶 ↔ 𝑣 = 2𝑥 −1 + 𝐶𝑥 4 (5)

Por último, sustituyendo el primer renglón de (2) en (5), se obtiene: 𝑦 −2 = 2𝑥 −1 + 𝐶𝑥 4 ↔ 𝑦 2 = 1 ; 2 + 𝐶𝑥 5 𝑥 𝑥 𝑦2 = 2 + 𝐶𝑥 5 =

1 1 2 2 ↔ 𝑦 = ↔ 𝑦 2 2𝑥 −1 + 𝐶𝑥 4 4 𝑥 + 𝐶𝑥 ## Related documents

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