Engenharia de Controle - Bolton

SAVE OFFLINE

j \.... ) -

· ( .'.Stl'!LL~· -~-

.~?.~ P P .:-~~::".:~· ~,. __.._..,,~-·--

·~--

)

'ENGENHARIA ,'DE CONTROLE

-= ENGENHA :d

.o

~

I

o

DE

fai~a de tópiços importantes ao L:~te livro apresenta o leitor a uma grande de controle. E ideal para cursos

, tem.limento dos métod os da engen haria exemp los e proble:.,trodutórios. Cada capítu lo é comp lemen tado com diagra mas e tabe)Js com respos tas. O texto é bem ilustrado: mais de 300 pouco desen volcom e is ):; auxili am na comp reensã o de conce itos difíce ' ")men lo matem ático. sistem as; resposta Assuntos abord ados: sistem as de contro le e model os de as dinâm icos; sistem de os model \.~ sistem as: transf ormad a de Lapla ce; pólos zeros nente; perma e regim em erro ; ' )>delo s em diagra mas de blocos ta em respos s; ladore contro ; raízes das lugar pelo r fStabi lidade ; análise __~qüência e contro le digital. ial para todos o~ ~hgenharia de Controle, por W. Bolton , é leitura essenc de contro le. E haria 1.udant es que se ocupa m de qualq uer aspec to da engen Contr ole Aude lina discip a indica do para cursos de gradu ação nos quais curríc ulo. ao entes pertin são ) ismos )nátic o ( qu Contr o.le e Servo mecan já foi líder de ) Bolton é espec ialista em unida de de educa ção superior, e autor de BTEC no oração monit e ,· y pos de pesqu isa, desen volvim ento Control trial Indus ndo: inclui os, técnic cursos em n1uitos livros para uso Circuit, remen d lnstrumentation, lnstrumentatio11 and Process Measu iais. Mater of rties , ' ~Elétricos e Electrical and Magnetic Prope

)

)

~

IS BN 85 34G -0'34'.l -X

.iAKl lcmas de fluid o . . . . ma de fluid os . Co11slrui11clu um 111odl 'iu para um sis . . . . istem a térm ico Cons lruin do um 111Ptklo para 11111 s

~

)

li )

I'

I! )

Elcm cnlos c letro mcd nicos

1, )

Linra rida1 k

lií: )

Elcrn rnlos meci.lnico -hidrs

1 )

Prohlc111 ;1s . . . . . . . . .

.. y

~· )

•·)

.!)

~I

)

1

1'

; 1 )

j~ ~) 'à )

4!

mas de segu nda orde m Medi das de dese mpen ho para siste orde m Oper ador D e siste mas de segu nda

42

44

Prnh lema s .. . .. . . .

45

l'mhil'111a s

)

)

m Equa ção difer encia l de segu nda orde l de segu nda ordem Reso lvend o uma equa ção difer encia

37

C:ip ítulo J

RES POS TA DO SIST El\L \ . Intro duçã o . m . Ex e mplo s de sistem as ci c prim e ira ordi> .. \·;l o dikrc nri ;il 1k I'' i111eira ordt·111 l:qt1a

Reso ll' c 11du 11111a

e q11 ; 1~· iio

C n11 sla111 c ""

l l' illl'" .

Opn;11! 11 r

..

!)

di l"crcncial de prim e ira orde m

ncial de pri1m·ira ordem . Opc radt1 r D de· 11111a n p1 :11J10 dikrc

48

Capí tulo 4

Intro duçã o . . . .. . .

48

Tran sform ação de Lapl ace

49

o degra u Tran sform ada de Lapl ace da funçã ... . Utili zand o a trans form ada de Lapl ace

53

.

60

is ace para resol ver equa ções difer encia lltili zand o as trans form adas de Lapl ..... . Fraç ões parci ais . . . . . . . . . .

62 73

final Os teore mas do valor inicia l e do valor

78

Prob lema s .. .. . .. .

85 92

Capí tulo 5

94 97 102

I09 114 114 116 118

Prob lema s . . . . . . . . . . .

119 126 127

J:l 1

ÂMI COS MOD ELO S DE SIST EMA S DIN . . .. . . l111rodução .. . .. . . . . . . . . . dinâm icos Funç ões de trans ferên cia de elem entos orde ns . . . Elem entos de prim eira e de segu nda prim eira ordem Entra da degr au para um siste ma de prim eira ordem Entra da ramp a para um siste ma de prim eira orde m Entra da impu lso para uni sisle ma de segu nda orde m Entra da degr au para um siste ma de segu nda orde m Entra da ramp a para um siste ma de segu nda ordem Entra da impu lso para um siste ma de

lll.'i

121

. TRA NSF ORM ADA DE LAP LAC E

Capí tulo 6

IHAC ;f{r\M A EM HLO COS l11tn1du~· iio

Dia g rama

..

1:111

bloco s

VII

134 135 146 154 155 158

158 159 160 163 171 176 181 183 185

185 185 190 193 195

197

i

1

199 205 209

1

214 1 216

216 216

! 1 1

i 1 1

1

i i

) \1111

)

E11gr 1k rderi!ucia, isto é, a entrada, e 00 é o valor real, isro é, a saída de um sistema, cnrão a função de transferência global do sistema de con!rolc é:

) )

Funçao de transkrl: ncia = · ~í 1 !':!_ = 80 entrada A;

Porlanto, para o sistema em malha aberta: Função de 1ransforêm:ia = G 1 x G 2 >-. (; _;

MODELOS MATEMÁTICOS PARA SISTEAJAS EM MALHA FJ~'Cl/ADA

)

)

121

A fun~: ão de transferência em mallla aberta é o prndulo das funções de transferênc ia dos clc111cn1os individuais. Isto se apli ca a elementos que estão conectados em cascara.

e,

+

e

Sislema com função de transferência G

I

)

I

)

). )

EXEMPLO 7 O sistema de medição usado com um sistema de controle consiste em dois elementos: um sensor e um condicionador de sinais cm cascata (Figura 1.25 ). Se o sensor tem uma função de transferência de O, 1mA/Pa e o condicionador de sinal uma função de transferência de 20, qual será a função de transferência do sistema de medição'!

Realimentação f

Figura 1.26

Sistema de medição com F.TH

)

~-----'

)1

A funçao de transferência para um sistema em mall1a fechada.

),. ),!

Cada subsistema dentro de um sistema global tem sua própria função de transferência. Se o sistema a ser controlado tem uma função de transferência G, cuja enrrada é o sinal de erro e, e saída 0 0 ,

i') (

) ) )

/

I

(

•·

'·

)

- 'I

30

Engenharia de Controle

Cap. I

Cap . I

~)

G = 0o e

)

Se a rcalimcnlação lcm a função de transferência//. cuja entrada é 80. e saída/.

u

)

=

L

Um motor de velocidade controlada tem um sistema motor-relé-amplificador com uma função de transfrrência de 600rpm/Y e um sislema de medição na malha de realimentação com uma função de transferência de 3mV/rpm, como ilustrado na Figura 1.27. Qual é a função de transferência do sistema glohal?

0,,

O sinal de erro e é a difcrcnça entre 8; e}~ o sinal de rcalimrnlação /é uma medida d = 0.2 ei

1 )

motor, isto Se exisle uma variação de 10% na 'função de 'rransferênc ia do ' . · é, O, 11 rpm/V, então:

para erro zero, temos:

> )

(,'

1 + Gf/

E=8i(l2x0 ,ll - 1)=0,328;

O erro será incrementa do de 1(i.

~

)

) I

desta forma , li deve ser igual a 0,9.

i,Õ- 1

, )

J

= - 0,45 O;

Se houver variações de 10% na função dt: transferênc ia do molor, isto é, 0, 11 rpm/V, então :

t:

=e;(

)

)

e antes de qualquer variação:

- 1 ~~ xxo~%º><

)

para G = 1O vem: 10 = 1 + IOI!

E= B;( 1- +

)

1

1-+-,~~ / J:;\!;-·i:o - 1) = -0,43 ei

A variação no erro é considerav elmente menor do que a mudança ocorrida com o sistema em malha aber1a. O sistema em malha fechada tem uma sensibilidad e muito menor a mudança~ ambientais do que o sistema em malha aber~a.

EFEIT OS DE DISTÚ RBIOS

)

) Uma irnp11rtanle consideraçã o em um sisl•:ma de controle é o efei10 de distürhios . Em um sistema de aquecimen to doméstico em malha aberta, um aquecedor é ligado para obter a temperntur a da sala em um valor desejado. O que aconteceria se urna janela fos~e aberta e uma rajada de ar frio entrasse na sala? Podemos representar o Jistürbio no diagrama cm blocos do sistema como na Figura 1.32. Nesse caso, o disrúrhio Sd é somado à saíJa do processo. Para tal sistema lemos:

181

) )

) )

( ) ) 1

)

)

EXEMP LOJJ Um sisrenrn de controle em malha fechada tem a função de transferênc ia no ramo direto igual a IO. Qual deve ser a função de transferênc ia da realimentaç ão para um erro em regime permanente igual a zero?

;

9,--__.

Figura 1.32

Distúrbio em um sistema de controle em malha aberta.

() ). !~

1. )

, ) ) )

,1

Cap. I

39

Sistemas de colllrole

_ _c_ac_p_. !_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ ~ --E_n.~cnharia de Co_n_1_ri_1le

..J )

Mas a realimentação fé H0 0 , portanto:

O termo 0d é o erro em regime permanente somado ao sistema pela presença

.J

do distúrbio. 1

) )

Se o distúrbio foi somado ao sistema entre os ele111entos 1 e 2. como na Figura

Rcarranja11do :

1.33. cntão : [91

11()1

) )

O ter1110 0 0[ I/( 1 + G 1G21-1) 1 é o erro em regime permanente que é introduzido n_o s1s~ema pelo distúrbio. Se essa equação for comparada com a equação equivalente na slluaçao em malha aberta, Equação [8], veremos que o efeito de distúrbio é modificado pelo fator 1 + C.tG2H. Esta propriedade de modificar o efeito de um distúrbio é denominada rejeição à perturhação. .

1

)

O;--__,

~. ~

_1, ) )

Figura 1.33

G1

+

Distúrbio em um sistema de controle em malha aberta.

O termo G20d é o erro em regime permanente somado ao sistema pela presença

) 1 ) 1

)

1 )

1 ') J

do distúrbio. Em um sistema em malha fechada - por exemplo, o sistema de aquecimento domé stico-, se o ajuste do termostato não é alterado. uma janela é aberta e uma rajada de vento frio entra na sala, podemos representar o sistema de controle sujeito a um di stlirhio po r u111 diagrama em blocos da forma 111ostrada na Figura 1.34. O sinal de erro é (0i --f ). ondc f é o sinal de rea lim enta ção. O sinal de saída do elemento 1 é a entrada do 'c lcme1110 2 e é igual a G t (0; -f l. A saída do elemento 2éentãoC1 G2(0; - /). O di stúrbio é somado nest e pont o e d;í a saída 0 0 :

G2[G1(9;-f)+9d]

9;- f 9;

+ G1 (9;-f) f = Hf! 0

Figura 1.35

)

9;- f

G1(9;-f)

O;

L----- -{ Fig ura 1.34

Distúrbio em um si stema de controle em malha fechad a.

) 1

)

1

)

\1

)

--liiiiliiilii _ _ _ _ _ _ _ . --.. ----- - -- --~-;;;;-,;;.~--

G2

Distúrbio em um sistema de controle em malha fechada.

A figura 1.35 mostra o sistema c111 malha fechada com o distúrbio ocorrendo . entre os dois dementos do ramo direto. Para tal sistema a entrada do pri111eiro elemenlo é (0; -/)e sua saída é G t (0; -/). Combinada com o distúrbio 0d dá a entrada do segundo elemento. Assim. a saída 0 0 deste elemento é:

Como f = //H 0 • então, '

1

~

-. •·

1

;

1 ( ·, 11 1

·~

jl li

i 1

1/

.'i 1 • ,' 1' 11 t . J 1 ,/ , 1.• 11 • , •/ ,

SENSIBILIDADE A MUDANÇAS DE COMPONENTES

Simplificando:

1

I

o 1enno 8,d G2/( 1 + e 1G2l/)J é o CITO em regime permanentl~ introduzido no sistema pelo distúrhio. Se esta equação for compa1iada com a de malha aberta, isto é, Equai,:ií'> l'>I . veremos que o ef~ i1.(:) do distúrbio é n!oclifica\lO para a malha fechada do far,11'(;c /tl +G 1(; 211)cparaamalh;1abertadeC2.' Otatm 1/tl +c;1 G2 1/)éumamedida de 4ua1Jto os efeitos do distúrbio são modili cados pda reali111cnta ção. Esta propriedade de modificar o efeito de um dis1úrbio é chamada rejci\·â o ,) pcr1111·h11\'11n·rsl>1 pn·,s:io -ct11Tcnt co111por1a1ll c1110 dlh blrn;os usad1 h ''" ' si-,1c111a -, mec;.inico~. elétricos, térmicos e de fluidos , não há ncces~id;idc de dilác11k \ forlllas de blocos ma1c111;\1icos para dikn.:11ks tipos d,: sis temas. Es1i.: cap1'iilio i111rnd111 11s hlol'os básicns e ~uas combinar,-õcs para gerar nwddo' 111:11, ( )l )l

)

.,!

,

) )

~

Cap. 2

1

)

62

Engenharia de Controle

Cap. 2

) )

~)

63

/

I·

,.

Modelos de sistemas

A Tabela 2.2 mostra as equações definindo as características dos blocos elétricos quando (a) a entrada é a corrente e a saída é a diferença de potencial e (b) quando a ...,,entrada é a diferença de potencial e a saída é a corrente.

1

L )

Tabela 2.2

-) )

Características dos blocos elétricos.

I_

)

L

)

(b)

(a) -

- ------

Armazenamento de energia

v

Capacitor

V=

)

Dissipação de energia

)

Resistor

dí

= L (i(

Indutor

)

I~

Energia armazenada! potência dissipada

Equação

Blocos

)

-)

B

~

v =Ri

f

Ídf

if

Í

=

Í

=e

;=

nV

~t

dv dt

E~

1

l

·2

2 ./

Figura 2.10

Circuito para ilustrar análise nodal.

Todos os componentes são resistores neste exemplo ilustrativo. Pela análise nodal, o ponto A na figura tem uma tensão VA em relação a outro nó principal tomado como referência -- nesse caso, o nó 8 . Considerando todas as correntes entrando e saindo do nó A, e de acordo com a Primeira Lei de Kirchoff:

E= 2! Cv2 A corrente que passa por R 1 é i ! , e a tensão neste resistor é (v - vA); assim: 1

P=R

v2 A corrente em R2 é iz; e como a diferença de potencial em R2 é VA, então:

)

1

>J

)

L

)

L J,) L )

l

)

l )

l. )

l )

l

) )

l

)

l

) )

1 ) )

CONSTRUINDO , UM MODELO PARA UM SISTEMA ELETRICO

A corrente i3 passa em R3 em série com R4 e existe uma diferença de potencial VA sobre a combinação. Assim:

As equações descrevem como os blocos elétricos podem ser combinados utilizando as leis de Kirclwff. Estas leis podem ser expressas como: (a)

J !l lei: A corrente total que flui em direção a um nó é igual à corrente total que deixa este nó, isto é, a soma algébrica das correntes nos nós é zero.

Equacionando as correntes, temos:

(b)

2º lei: Em um circuito fechado, a soma algébrica das· diferenças de potencial em cada elemento é igual à força eletromotriz aplicada.

-

V -

Uma forma conveniente de utilizar a I' lei é chamada análise nodal, já que a lei é aplicada a cada nó principal de um circuito - um nó sendo um ponto de conexão ou junção entre os blocos ou elementos de circuitos, e um nó principal sendo aquele onde três ou mais ramos do circuito se encontram. Uma forma conveniente de utilizar a 2ª lei é chamada análise de malha, já que a lei é aplicada a cada malha - uma malha sendo um percurso fechado ou um loop que não contém outro loop. Para ilustrar o uso desses dois métodos de análise para gerar as equações, considere o circ11ito 111ostrado 11a Figura 2.10.

' 'A

V,\

"A

-- = - + R3 + R4 Ri Ri

Para ilustrar o uso da análise nodal para o circuito na Figura 2.1 O, é freqüentemente conveniente supor que existem correntes circulando em cada malha da forma mostrada na Figura 2.1 l. Assim, a Segunda Lei de Kirchoff é aplicada em cada malha. Para a malha com a corrente i 1 circulando, se a corrente circulando em R 1 é i 1 e em Rz é (i t - iz):

64

.i

E11gt•11l111ria dt• Co111role

----- --

C1111 . 2

Cap . 2

---- - - -·- - -- - -

Aludt.•lus de

s J.\ fO llt H

..

R

.,

~·

l

.J,.1

)

vf

vf

/ Figura 2.12

Figura 2.11 i· '.l

I

'

)

'

onde "Ré a diferença de potencial no resislor e 1·c é diferença de po1encial 1111 ,·apac ilor. Como se lrala de uma só malha, a corrente cm .1ndos os elcmc111ns do circuito será a mesma, i. Se a saída do circuilo é a diferença de polencial no capacitor, 1•c, e Je acordo con'l'us Equ111,:õe s 121] e [221, l'R = iR e i = C (d1cfd1) :

)

), ).

)

iN + l'C

V=

·I

)

Sistema resistor-capacitor.

Circuito para ilustrar a análise de malha.

De forma se111elhan1e, para a malha com corrente i2 circulando, e já que não existe nenhuma fem: '.,: •" ;< '

).

Rearranjando a equação temos:

)

d1·c

i2(R3 + R4 +Ri)= i1R2

Substituindo por i 2 e usando essa equação na equação para a primeira malha lemos:

dr

J26J

que dá a relação entre a saída "C e a entrada 1>.

\' =

'

il

RC - - + l'C

1

' ), 1l ) ~

A Figura 2. 13 mostra um sistema resis1or-indu1or-capacitor. Aplicando a Segunda Lei de Kirchoff à malha do circuito: - ' ·

''1 i

V=

I'

i 1(R 1R.i = - -- - - -

l 'f< + l'L

.,

+ R1R.t + R1R2 + R2R3 + R2R:i)

= "R + vc

. ~

)'

}

Em geral, quando o número de nós em um circuito é menor que o número de malhas, é mais fácil empregar a. análise nodal.

I'

)

).

----R3 ·+·R~ -+ -·"R·; - ---

Um sistema elétrico simples consiste em um resis1or e um capacitor em série, como na Figura 2.12. Aplic~ndo a Segunda Lei de Kirchoff ao percurso fechado, temo~:

(·

+ l'C

1

'j

)

.) 1,

):1 )1 Figura 2. 13

51

Sistema resistor-indutor-capacitor.

onde l'R é a diferença de potencial no resistor, l 'L é a lensão no indut-or e vc é a tensão no capad1or. Como existe somcnh:: uma malha, a corrente i será a mesma em todos os elementos do circuito. Se a saída do circuito é a diferença de potencial no capacitor vc, e de acordo com as Equações [21] e [ 17], VR = iR e VL =L(dildt):

ji, -j (

( (

~ " ·~ ./

~

~

_ Cap. 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

E11xenharia de Co11tmle

66

V

= iR

p_.2_.:__M.:__::o____:d~elosde sistemas -...:C_a:._ -------~-------------

_ __

A difere nça de potenc ial em

di

+ L -dt +

67

e, é VA, portan to pela Equaç ão [21) :

l'C

Mas, de acordo com a Equaç ão [22): capaci tor, portan to pela A corren te i2 aumen ta a diferen ça de potenc ial 1•c no Equaç:io f 211 : 1

d1c

; = e dr-Assim: di -- = dr

dt)

d(drc/ ·-e -----dr

=

d 21·r

e ----,

A condiç ão p11ra as corren tes

dr

110

nó A. Equaç ão (28J, toma-s e:

- )

L

1.

d21·c d"c + 1·c ,. = RC --- + LC - 2

) ) ) 1

s L ~

f29j

Portan to:

)

clt

A difere nça de potenc ial na combi nação série de R2 e

[27J

c2

é vA. então:

d1

. Aplica mos primei ro A Figura 2. 14 mostra um circuit o elétric o com duas malhas nça de potenc ial 1•c difere a entre o relaçã a análise nodal ao proble ma, par;i determ inar a um potenc ial 1'/\ tem 14(a) 2. Figura na A no c;ipaci tor e a tensão de entrad a 1·. O po11lo re lativo ao nó B. Para o nó A:

L )

d1·c ''A=

-R2Co • d/

+ i·c

Difere nciand o:

[281

i

l

1

)

) l )

vf

vf

l'A

e d1'A/dr na Equaç ão [29J, temos: 1

.

1 f

)

B

)

l

Substi tuindo por

Portan to:

Figura 2.14

t

(b)

(a) (a) Análise nodal e (b) análise de malha .

1

difere11~· :1

)

;\

)

i1R1= 1·- 1·,1

de pot c11 c i:il

L'lll

/\'1 é ( 1· -

l' A):

assim :

11

I'

1301

) )

1

l

- -

-

_____ ___ ______.

/'

1

) :i \~

(

) :1

"

( ) ,3 Ci_ ' I'_·2__ _ _ ··--·- -' - - - - - - - ---··----- .

\

l ' :. . ' ' . A equação anterior pode tamõém ser ~knvada pela análise de malha do circuito, como na Figura 2. 14(/J). Aplicando a Segunda Ld de Kirchoff na malha ~om corrente i 1:

( ) 11

Portanto: 2 d 1'c

i1 = R2C~C1 . Ht2 1 '

). ~

1

\ ) ,1,

+

d1•c

(C1

+ Ç2)dt 1

h

; -~ ~-

) ;l

;'~ l • ·;:.,;.,;t. ,; i Substlt,l;;.~do ; 1 ~ª Equ~çã~ (31]., te•rs :

M

Rearranjando:

) 1ii [311

1 ) ,.,

), Aplicando a Segunda Lei de Kirchoff à malha de corrente i2:

)1 ) JI

Mas:

'· •'

!., ...

),,:

,''~!.,..;'

)ia i

Rearranjando: (321

Como: 1 1

,\

,1

..

V

----

'1

'I

,,

\

~. ,

f

~.

Rearranjando:

e

que é igual à Equação [30] obtida pela análise nodal.

Exemplo 4 então a Etjuação [32) pode ser escrita como:

Determinar a relação entre a saída, a diferença de potencial no. 'i ndutor para o circuito mostrado na Figura 2.15. .

Diferenciando: ·

., 1

,,

~·

1•1

e a entrada v

}.-

"

l

l

),

),

)

Cap. 2 70

1'·11gt•1i/111ria de Co11tmle Cap. 2 ·-- ---·-- ·--- - ------

·-

- -·-

--

Modclo.t de

.fi.Hc111t1J

71

- - - - - - - - - -·- ·- -·----- - - - ---

R )

) L

)

)

8

) )

Exemplo 4.

Solução

)

) )

Apli L·:1mlo a Scp1nda Lei de Kirclrnff à malha do circuito:

) )

Exemplo 5.

Figura 2.16 Figura 2.15

Pela análise nodal, o nó B é tomado como nó de referência. e o nó A tem um potencial 1·/\ relativo a n. Aplicando a Pri111eira Lei de Kirchoff ao nó A. temos:

,. = "li+ ''t.

onde ,.Ré a diferença de potencial rio resistor R, e VL é a diferença de potencial no indutor. De al«m lo com a Equaçiio 111 J. 'R = il?. então:

Mas: l'A

I' -

J

\' "' il<

'

)

R

1 1·1

De acordo u 1111" Equaç:iu i 18) :

)

)

f \'!. d:

-' , i = L

)

i.1

(

. ? )

>) l

taxa de fluxo volumétrica

Figura 2.24

O cquivalcnlck flu xo de 111:1ssa 1i1 e a pressão difere ncial (p1 - r2), como: Portnnto:

e

c11tiio

:i

(C1

+

C2)

dp dr

Se o gás

ou 1481

110

recipient e

1c111

uma de nsidade p. a ta xa de va riação de massa

110

rcvipiL'!l te é: Ta .xa d e

) \·ari:iç~P de m:!'i•.;1 1H> rec ipi e nt e= ~(_PI· dt

li

)

,,

Se (tll1/d1) = (d\i/011l(d11/d1)

l'

para um gás ideal 11V = mRT. como conse4üê11cia

c111 . · ' , 0 rqu1 o 1w rcc1p1 cn1 · 11 0 I · · cap•1c1tor, e a válvul:.. j)tJÚe ~er ,. . .d . e < e .~e t c1H1~alerad liquido dei xa 11 recipi c111e é ig ual:'! la .\ a na q1 1: il ,_.Jc Para o re ~ i s lor, a Equa~·ão [38] l"i ca:

1n

) 1

Como \' = Ax, então: '

C 1 = pA

' ) 1

)1

lil

--

d1• 2

Mas para o fole p1A

1

)

pa ~,.1

) 1

= kx, assim :

157 1

1

d.r

Utili za ndo o valor de

1551

pr\ d(kr/ A)

(/2

Exemplo 7

'"1

-- ~~e~

)

1

dado por c'sa cquaçlio e s11b,1i1ui11do na Lq11 s ist\' 11"1 . Pod\' -~ L' éon , idnar que o :. i ~ te111;1 tc111 in érc ia, rcsist l' ncia e cap;1citância. l' r1ttiiu p é igual à soma da s quedas de pressão em cada um de sse~ elemenlos. A queda de pressão devida à inércia é dada pela Equação 142 J CO!llll'.

; \,

dfl,

- dr

-

161 /

Substituindo pu r q2 ne ssa e quaçiio e usando o valor dado n~ Equação [57): S!_11 __-=._~12)p_í]_ R1

[62/

dq Queda de pressfio = 1 - dr onde q é a taxa de volume de líquido de um braço para outro. A queda de pressão devida à resistência é dada pela Equação 118] como: Queda de pressão = Rq

Essa equação descreve como a altura de Ifr1uido no recipient e 2 varia. Assim. as Equações 1581 e 1 621 d escre \'C fll a s variações na altura de líquido nos dois recipientes.

A queda de pressão devida à capacitância é dada pela Equação [41) como: Queda ele pressfio =

~ J qdr

Exemplo 8

~

i.

.)

i\ l-i 1~111 · a 2.3 1 111os tra um rubn c111 ! 1 t'l'lllc11do um líquido . Derivar 11111a cxprcssiio que dPis br;1ç11s varia co111 P tempo quando a i11diq11 ,· nu1H 1 a dikrr1H;a (k alr111a c111rc p1 cs .. :I" aL· ima do li tpiido l'JJJ t1111 do s hra~· o s allJlll'llta. lk sc nhar um dia Erarna c m hlocns , pa ra 11 ;111:i logo rk'tr in> (k u111 s isll'1 11 :1 hidr:íuli c o .

º'

p

).

l

:)

' ) 1

' 1

' --._

1)

l .

,,,

-~//V

-------~//

L

1) )

/ AI lura em algum in stante de tempo /\ lluril iniciai

) UY"'"'''

)

1

~

~1-f___

, t' ) '

"

Se 11 é igual à soma dessas qu edas de pressiio :

Fígwa 2. 31

Exemp lo O.

p

11 - 1

d,,

d;

t N11 1

1

(

.

f qdr

O i·olume de líquido que fluiu de um braço para outro quando ou>1TC urna dil'e rcnça na altura de 2il é Ali. j:í que urna altura li do líquido cm um braço sc rnoYcu para outro braço e gerou essa dil'ercnça. Então q. a ra zão na qual o volume do líquido se move de um braço para o utro, é d(All)/dt . Ass im:

,,

/1\

d~~2 dr

+ Ni \ dh + CA; dt

f dh

Ma s n diferença lotai na altura entre os dois braços é 2'1 . Se l

= pL!A e C = Alpg:

1

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •liilllilíli•••••i!!.._.llllrlii:i..'· W--C'!LlD:, \!' () ) ( 1)2

t.'11ge11/wria de Co11tmle

d 2h

p = pL -

dr 2

Cap. 2

dh

+ RA -

dr

9.l ----

+ 2hpg

O sistema tem quedas de pressão devidas à inércia, à resistência e à capacitância somadas. O equivalente elétrico é a adição de diferenças de potencial em um indutor, resistor e capacitor. Isto significaria que os três componemes estão em série. O circuito é então mostrado na Figura 2.32 .

onde A é a área da seção transversal do material através do qual o c:iior e~>l•Í scndu conduzido e L é o comprimento do material entre os pontos nos quais as temperaturas são T1 e T2. k é a condutividade térmica. Portanto, comparando esta equação com a Equação [63):

R

L Ak

164(

Quando a transferência de calor é pnr c nnveu,:ão, 1a111n para líquidu s L'l1111n para gases, então:

onde A é a área da superfície transversal na qual a is te a diferença de 1emperat11r;1 , c h é o coeficiente de tninsferência de calor. Comparando essa equação com a Equação f63 J:

i

Figura 2.32

Exemplo 8. 1 R - Ah

'!

;i

11 '

'

BLOCOS DE SISTEMAS TÉRMICOS

~

' 1 ' ;1

Existem apenas dois blocos básicos para sistemas térmicos - resistência e capacitância

1651

Capacitância térmica é uma medida do armazenamcnto de cncrgia i111..:rna no sistema. Se a taxa de lluxo de calor para dentro do sistema é l/I e a taxa de ílu xn 11;1 saída é q2, então:

- e . apenas uma malha de íluxo de calor entre dois pontos se houver diferença de temperatura entre eles. O equivalente elétrico é um ramo com correrite i quando houver

Taxa de variação de energia interna = q 1 -

diferença de potencial 1• nos seus terminais; a rda1;iio entre a corrente e a clil"crcnça de potencial é:

Um au111cnto da energia interna significa um aumellto na temperatura . Li que :

q~

Variação de.: energ ia interna= me x l' ari ;1ç;lo 11a 1..:mpaatura l'

R

onde

/11

Lima relaçãu semcl)iante pode ser usada para ddinir resisfr11ci11 1ém1ú·,1 R. Se

é a massa e ,. é o c alor espedfico, c111;in : Taxa Je variação de energia inrcrna = ,,,, . x t;1.\ a d.: \'ariaçi\o de.: te111per;1tura

q é a razão de fluxo de calor e (Ti - T2) é a diferença de temperatura, enl;io: Assim : lf

=

(1'2 - T1) -- - - -

R

[63]

O valor da resistência depende do modo de transferência de calor. No caso de condução através de um sólido, para condução unidirecional: (T1 - T2)

q = Ak-- - L

onde dT/dt é a taxa de variação da temperatura. Essa equação pode ser escrita como: q1 - q2

dT

=e d,

[66]

) '. .•1

)

J )

)

Cap. 2

Cap . 2

1

·; 1

E111?enlraria de C11111mle 94 - - --- - - ----- ----·- - ---- - - - - - - - - -- - -- -- - - - - - -

onde

Modelos de sistemas

95

e é a capacilância térmica C=

T

(671

11/C

-q

1\ Tahda ::! .5 111oslra a cn111para(in dos bloe clélrie1 11,'I ro é R. ent iio. pela Fqua1Jio f .3

-· - - - -- - - ·- - ----------- - -- ··- - - - - - -· Assim;\

= - (ho/ao)0; e a equação torna-se:

Resposta do sistema

123

então at = RC. ao= 1 e ho = 1. Assim, a solução é da forma dada pela Equação [41:

O" = U>o/t1olO;l I - exp - (aot/a1 li

1·f! A f'igura 3.(í(h) mostra um gráfico de como a saída Sovaria com a tempo para na figura l.í1!fl) . O gr:íl'ico e a equação siio J.!erais r 1kscreve111 a resposta degrau a c111rada rna -sc: A fun ção de translerê nc ia Css é 1/K t e portanto a velocidade angular ( l/K t )r;. 1\ cP 11 s tante de tempo é .lR/KtK 2.

OPERADOR D

1101 Existem proecdime11tos que pue m ser us:1dos para reso lver equações diferen ciais dessa f111 ç;ill a 1.:111 a 1 d c: pc nd cd dn ., i11.1i de· enlrada. Assim, para entrada degrau quando 0i é um a cons tante para instantes ck kmpo maiores que 1 =O, a 'o lução a 1c111ar é 1• = k, onde k é u111a cons1antc . Quand. e etc. pode ser zero, en1ào tenla- ' e uma solu(;ão da forma r = a+ b1 + ct 2 + .... Porianto, para um sinal rampa onde Si= />; a solução a tentaré 1• = hr. Para um sinal senoidal ou co-senoidal, de\'cmos lentar 1· = A scn lllt + lJ c os cúr.

e' assim a Equação 11 Oj 1nrna-sc:

.,

Se:

' 1111

Supondo u111a entrad;1 degrau 110 i11s1a111c 1 = O, islu é, a L'1llrada é L,' rt> e subilamente vai para 0i e permanece constante ne:;tc va lor o resto do tempo , então podemos lentar como uma possível solução:

então: 11 1D11 11

+"º"=O

1121

é a solução quando não existe fun ção entrada, islo é, a solução em regime 1ransi1ório.

Supondo, para essa equação transi1ória, uma solução da forma:

1 · ~ /.:

!

Como k é uma cons1antc d·•/dt = 01· =O, a cquai,:~io difercneial torna -se:

1

l

, Ili IJJ

1

1

en1ã9 :

1

d11

Ili

e assim :

"º--- O;

,.

"º

1.

d/

Portanto, a Equação [ i 2] torna-se : (u p · + uo)Ae"

=O

1

.~ .(

A soluçfo comp leta é c nl:'io:

ºº

=

11

ll"l ', )

: ~:::

+ \'

~111 1

e então: (u 1s+ao)=0 Essa equação, chaniada equação auxiliar, é formada tomando -s~ a equação diferencial para 00 cm lermos do operador D, igualanclo-sc 0i a zero e subst11111ndo-sc o operador diferencial por uma variável algébricas. Portanto i sSr da con:;1an1c 1\ d a d :1 par;i alguma condiç;1u i11i L· 1:il (condição de co111 o nw) .' Assim, se 8 0 =O, quando t =O. v111ão:

' ').1;...

Assim A = -- (h 0 /uo)0j e a cq uação 10rna-se:

1

li ~

r )

O., -- (ho /au) O;exp -

Para obter a solução da Equação diferencial [ 11 ]:

' ?1~

, )

e a solução transitória é: 11 = Ae" =A exp ( - aiit/a1)

IÍ lli

ºº

= (bo /ao)

e, 11 -

(i 1J

~li -1u \

'{,

[ '1

,1

, 11• 1 (

,/,

134

Engenharia de Controle

Cap. 3

Cap. 3.

135

Resposta do sistema

onde l\ é a amplitude da oscilação e rn 11 é a frcqiiência angular das oscilações nfio-amnrlccidas. Dikr'l'nciando: Entrada degrau

Cl)11

;\

cos

Cll 11 t

A equação diferencial torn quaud n sujeito a uma entrada Llegrau Elide acordo com a equação dikn.:nc ial : d 2ll.,

dü.,

- -- + 4 ---- . + 4 = 4 dl d1

Ü;

Se Qual é (u) a freqüen cia angular subamo rtecida, (b) o codic iente de amortec imento e (e) a solução da equação diferenc ial quando o sistema está sujeito a uma entrada degrau d~; 0i em t = O, s abendo lJUC em t = O temos 0 0 = O e dü,, /d1 = O'!

Compar ando a equação com a Equaçã o [ 171 :

(l)

(b)

11 = 2 J! L

Compar ando a equação com a Equa ção [ 17 ]: 2Çul 11

"'

ç=

= - 0,(21 + 1) e-- 2' + 0;

=(At + 8) exp -

úlnl

+ bo9i

Como 0 0 = O quando t

o = (0 + 8) 1 + bo9i

e a freqüên cia angular s uham o n ..:c ida ?

(a)

Qua!

(/1 )

Qual é o c o e ficiente de amort cc in1 cn10· 1

(e)

-1 1.0

A solução para um sistema criticatl lente amortec ido suje i lo a uma e ntrada degrau é da forma dada pela Equação [271. isto é:

90

Um sistema de segunda ordem tetll uma saída Ou que va ria com o te 111po t quando s ujc i!O a uma entrada degrau 0i de acordo com a equação dife re nc ial:

Qual,: a soluç ão p;1ra a equa( io di fcrc:: 11 c ial

Sl: l: lll f

= ()

I C lll!l S

()., "' () e

d8".1 d1 "' O'?

O s i ~ te111a é criticam ente amortec ido . (. 3

Engenharia dl' Controle

,, 1

)

li

1

1

f

(b)

)

Compar ando a equação com a Equaçã o [ 17]: 2 ÇuOi

0,--l

~~~r~-~in ~I e~r~ ~n tu ~I ___ _

25 ,4

0.G

0,8

9,5

1,5

lima i11tli,·; 11;;1 n da ,·cl cs 111a fc'n11:1 :1dotada para a cqua~·ãt• di!

. li >; t

Transformada s de Laplace . 1

Transformad as de Laplace

Função no tempo

.1JW) ·- :.!Ld.(rO)

dr

Impulso unitário

onde .1f (0) .'. multipli cado peln valor da funç ãu em r =O e q((O}/dr é a · derivada primeira da função em / =O.

Degrau unit drio

s

A 11-t~sima derivada d e uma funçiio toma-ses vezes :1 transfonna~ atrasada, isto é, a função começando em t = O, mulripli cada por c-sl . Assim, a transfomiada de Laplace é:

A transformada de Laplace de uma função senoidal sen wt é:

w_ F(s) = _ _ s2

+

w2

112 como 1/s3. Assim, para o hier

2

F(s) = ·-

.)'2

A transformadá de Laplace de um impulso unitário ocorrendo em t =O é 1. Para um impulso de 4V, a transformada será de 4. Atrasar .º impulso significa que a função não -atrasada será multiplicada por c - sI . Assim , a transfomiada de Laplace para T = 3s é:

A tabela dá a transformada de Laplace de

a tran sformada de Laplace de t, precisam os multiplicar a função na tabda por 2 . Como é uma constante, a tran sformada de Laplace de r2 se rj:

3 e- 2.s = ---

F(s) = 4 e- 31'

(f)

(a)

~.3

(b)

Utilizando a tabela, a transformada é:

Note que a transformada de Laplace de duas funções multiplicadas não é a multiplicação das duas transformadas de Laplace separadas.

Cap. 4

En!(tmliaria de Controle Cap. 4 170 - -- - -- --- -- - - - - - ·- ··--- ---- ----- - --·---· -· -- - --

(e)

= 1c + 12 e- 111

F( s) =

2 .1 ·1

+ --

(s

2 + 11) ·1

Laplac e para ohter a solução O prnced imenlo que en volve utilizar as transfo rmadas de de uma equaçã o diferen cial é o seguint e :

E ,\E:lf PLO 4 inversa s de: D c lc111 ii11ar. utili ;:a ml •.>a Tabela 4 . 1. as lra11 sfo n11adas a)

h)

e)

2.

erar o que acon Pesqui sar Iodas as manipu lações - por exemp lo, consid tece quando uma entrada degrau é aplicad a ao s islema.

1 2s + 2

o como ílinção Conver h::r a função de Laplac e resulta nte em uma equaçã e . Para usar Laplac de ação rm transfo da do te mpo. islo é, operaç ão inversa são, é conver a inar determ assim e e Laplac as tabe las de 1ransfon11ad;is de as obter para s parciai frações em por decom fre4iienteme111e necessr írio ores). posteri os capítul (ver tabelas nas turmas padrõe s dadas

s - 5

EXEMPLO 5

se esse tcrmo !\!alici a inclui uma transfo rmada de Laplac e de l/s e ;1 ssim. será a função inversa é multipl i cad o por uma constan te 2, a transfo rmação consmesma pela icada qu e d;í a transfo rmada de Laplac e de l/s multipl 2. scr;í ta11lc. 1\ lra11 s forn1a ~ i11,·,-r,: 1 é 2e .

L' lll

(h). sendo a= - 5 . Assim. a

clr

3 ·dt

1 1

1.

~

com .r =O em t

~\

'~

4

=O.

Solução rmada de Laplac e de d.r/dt. A A transfo rmada de Laplac e de Jdr/dt é 3 vezes a transfo de Laplac e de x. A transfo rmada transfo rmada de Laplac e de 2.r é 2 vezes a transfo rmada de amplitu de 4. 4/s. Assim: de Laplac e de 4 é. conside ra ndo que é uma função degrau 3jsX(.1) - r (O)I + 1X(s) = 4/s

O. então: onde X(s) é a lr:m sfo nnada de Lnplrice de .r. Se .r(O) = 3jsX(1) - O1 + 2X(1 J = 4/s

1 il 11

l ~

•

J

)1 )

1

()

1

1

E11ge11hari ;tit;1 potência de .1 ll de a111nrl cc i mento dn sistema quando sujeito a u111a entrada degrau?

Um sistema tem a seg11inlc relação.

~'!~!

2 -Çtn11 + úJ,,-Jli.- 1)(1 - Ç )]

e ass i111 . substituindo

'1=1.ror j:

1111 = - Ç(t),, + .i1n 11

'10 · -

110

s 2 + 8s + 16

f)j(S)

Solução 1271

2

Ç)

De forma sc 111 clhanl e, se:

Parn

11111'1

cn! r:1cla degrau unit:lrio

ºº = -- -

~ s(.1-

1

- -- -

+

R1

+ 16)

Isto pode se r simplificad o para : c111Jo:

1281

!. tlft$Qff '.#

(1) 11 .

e.,

= -

1 ·- - - -·· - · -

s(.1 + 4)(s + 4)

oi = 1/s. portanto :

ei.

/

)

) 2115

( ~

".À As raízes da equação~· 2 + 8s + 16 =O são m 1 = m2 = - 4. Ambas as raízes são reais e iguais. O sbtema é então criticamente :imortecido.

Como derivada no Capítulo 3, a Equ ;11;fo 1331 :

(e)

Subn;-sinal p.::1..-c·11111al ~o ..:xp

-- Ç -·-IC .' - r--'I( 1 - ç-)

JX

-

1, as raízes são reais e diferentes, o que resulta em um aumento na saída que é seguido por um lento decaimento até zero (Figura 5. 7). Quando Ç = 1, as raízes são reais e iguais, e o sistema é criticamente amortecido. Isto significa que, seguindo o aumento inicial na saída. a resposta retorna ao zero cm um espaço mínimo de tempo sem oscilações. Quando Ç< 1, as raízes são complexas e, seguindo o aumento inicial da saída, ocorrem oscilações de amplitude decrescente até que eventualmente a saída atinja zero .

Assim. seª' raízes da equação da forma a.r 2 + /u +e= O são dadas por:

X

-h ±

~;/ - 4a~J

= ------- - -- - -

2a

então:

m

=:_

~Ço;,,

± ~Ç~l!Ji~ -

_4~o~~

2

1,0

l l1ili7a1Hlll rraçi-,l's part"i:1i s. a Equação 0.,(5) =

1\ .\ ·- 1111

/J

+ - - --- ,\"

-

,,,,

13.'if pode ser rearrnnjacla: [361

Portanlo:

quando s = 1112, cnriio /J(m2 - 1111) = ho d(\111l11i(\ s parn o sbte111a e o Sllhn· -si11al pern·11t11al quando sujeito a urna entrada degrau'?

Escreva a funçiio de tran sferênc ia C(s) para os sistemas dando as seguintes relações

(o)

fo -

5.

PROBLEAL,1S J.

--

400

s2 + 20s + 400

As oscilações laterais de um navio decorrente do movimento das ondas (isto é, o movimento ondulat(lrio) podem ser descritas por:

1."

..! 17

quando usado para comparar o valor dc:sejado com um si nal n:alimentado indi can do 0 valor real, foi denominado comparador, o sinal real imcntado er;1 subtraído do ,·;dor de referência para gerar o sinal de erro . Quando um sin;ll de ixa 11111 nó.11111110,/,: h ift1r1 ·.i 1,io , cst~ é r:preseniado da mesma forma que cm um circuiro el..:trico quando existe um ponto de JLmçao entre condutores que pem1item que uma corrente se desvie, isto é, a junção é representada pelo encontro de duas linhas, marcado com um '. '. O h/oco é dese nhado com sua função de transfert!neia dentro dele .

Pon to de soma

>

I

·6·

t: .

MAKRON

•

tJ

Figura 6.1 ·'

Bloco

Ponto de Função de bifurcação transferência

Componentes de um diagrama em bloco s.

1

O lermo 1w1w dirdo é usado para aquele s ekmentos através dos q11ai s o ~-i nal passa quan:to ~e move na direçüo en1rada-saída do si s tema (Figura 6 .2(a)). As funções de 1ransfcrenc1a dos elementos no ramo direto são de s ignadas por Oll G(s) . o lt:rmo rc11110 clc _rc · ahmc ' l/fo~ · . b

-1

~· - ·

tl.,(s)

G2(s)

ª"(sJ

1-:=c;(.1·)[-a;(s-)/i(-:;:)J

G2(s)

= --,-:- -c ,-(1)c 2(~)/-/(.~J

[ 121 tl.,(s)

,'•

Figura 6.

F

Exemplo 8.

Solução FaZl:JH!O ed 1(.1') (.'. Ot12(s) iguai s a zero," transform;ir,: iio 2 na Tabela 6.1 dií: e,,(s)

tlj(J) -

- --~!J'. ) (~L(s~ + Ci1(s) G2(1) 111(.1) 111(.1)

Com 8i(1) e 8d2ÜJ iguaio a zero, o diagrama fica como na Figura 6. l 8(a) e

assim:

(e)

Figura 6.16

(a) tld(s) =O, (b) Si(s) =O.

A safda do sistl:ma, quando sujeito a ambas as entradas, é a soma daqucl;i s dadas nas Equações [ 111 e [ 12], isto é: ·

l 131 Ver o Capítulo 1 para determinação da equação ante rior cm termos dos sinais passando pelo sistema. (b)

EXEMPLOS Determinar uma equação descrevendo a relação entre as entradas 0rÚ), 0d1(s) e 0d2(s) para o sistema descrito na Figura 6.17 e a saída 0 0 (s ).

Figura 6.18

Exemplo 8.

J

' 234

-

E11111mlraria rir Contrnlr

- - - -- - -

Cap. 6

Cap . lí

Com 0j(S) e 0ct1(s) iguais a zero, o diagrama fica como na Figura 6.18(h) e

:issi111:

n : li

235

Para um motor controlado pela armadura (Figura 6. l 9(a)). o circuito de armadura tem uma função de transferência de primeira ordem que pode ser escrira na forma:

___

_ !!.1_~,>g_~~fJ !!_1_ ~'L + (; 1(.i l ( ;2( .1) 111(.') /ljJ}

eº(.1) O,JC(s )

li ~

Dia[irama em b/orns

l l R,. (L ;/N) +

~

l'orta111P. a ' aída tnl:il d ll s i'1cma é:

~>l·

OJ1(s) -- -- ---· ·- ---- - C :c ( .1)

onde 1 1 é a constante de tempo para o circuito da armadura, 'tt = L,/Ra . De modo se111elhank. l''''kmns c snc\ na fu11c;ão de lransferência para a carga como:

(1

1/c ---··-· -

;: ~j

(/l i') ,\

C 1(s) G 2(s) H 1(.1) 8d2(.1) -

----- - ------- ----

ll c

-

+

12 .\

li

tr~1nsf'crência do ramo direto

A função de

::1

,,

l 'I

11

,,

. ~

)

l / f(,, TJ J +

apresentado rw Capí1ulo 2, pode ser controlado pela corrcnlc de armadura ou pe la corrente de campo. A Figura 2.39 rnoslra essas formas b:ís ica> em diagra111a em hhl('(l' com as cquaçües dcscn: ve11do as relações entre a Clftrada e a saída para c;ida bloco indicado. Convertendo essas equações em funções de transferêrn:ia (l'cr Exemplo 1( f) rw Ca píi tilo 5). chegamos ao diagrama em bloccis mostrado na Figur:1 6.19 .

O

X k~ X

f

para o sistema é:

llc

- - - --- -

1 2J

+ 1

11101or cc,

A função de transferência do sistema com ramo de realimentação w(s)/\!a(s). pela transfonnação 2 na Tabela 6.1. é:

)

" u) 11 n )

Circuito dél mmadura 1 -L 0 s +R 0

(S)

+ _

·1')

1

)

Circuito do ca111po

)

\I.')

1·

') )

)

1 L, 5., R,

-

1 )

J

.

1

GJ,_____~.

(llRa) k4 (l / c) (T1.í

Enrolamento de armadura

- - -- -

l)(T2S

(l / Ral k4 (l / c)

Carga

..

-·

Is+ e

----

Est:1 (:

1

'

+

ltr1

l! c!l!J:1!2) ____ !( llR.,) k4 (_ + T2) i (T1r , ll .1· + l.l. .,(l / Ralk1(l / c)

K

Motor cc (a) controlado pela armadura e (b) controlado pelo campo.

I·

IJ · (r1r2)

11111a eq11:1 '

--c-T

s + 'J

-

4~~~-

(/)

~ (g)

(e )

Fi \ ~•

......

( ·.111 ~------

A Figura 6.29 mostra um sistema controle de velocidade a ser usado para controlar a velocidade de rotação das rodas de uma locomotiva. IJ.m motor diesel é usado para excitar um gerador elétrico, que, por sua vez, excita U1i1 motor 'que aciona as rod:1s da locomoti va. A posição do, potenciômetro deteq11i.fla a ten sã o de referência fornecida ao amplificador diferencial, onde é comparada com o sinal de realimentação e gera uma tensão de erro amplificada, ·q ue fornece uma corrente ao enrolamento de campo do gerador. A saída do gerador é controlada peia correntl! de campo, j:í que o rotor gira a uma velocidade angular constante. A saída do gaador forneci! uma corn:nte ao circ11i10 de arnwdura do motur e~ a . saída deste é um torque que gira o rotor no qual as rodas do trem estãn acopladas. Represente o sistema por meio de diagrama em blm:os e derive ~1ma equação descrevendo a rdaçüo entre o fingulo O do po1e11ciômc:tro e a saída velocidade angular tú" .

C1rcu110 t1a armadura

'ool•IÀ-ol~jiqW~f•!iSôt!,L.10!!;.a,u,,.,·MJ.1~ _,~

~ .

1

Figura 6.30 8.

.:-1 'I

~2 -----·r 1 .(:;) -· /\J S(TS+1)

- -- -

Problema 7.

Um motor cnntnilado pelo camro é utilizado p:1ra ac"io11 ar 11111a car!.!a. Se a ind 111:1 11 ,·ia do enrolamento de campo pode ser considerada t!e.sprc1í\·.:I. de1.:rn1i1;e uma n:lai,·:h1 p: 1ra a v •:;i'

.. 2./1:1

L'11gt'11iiaria ili• Co111rolc ·····- - - -- - - ---~--- -

!

/Ü

sK(s"' +

O

onde G 0 (s) é a função de transferência de malha aberta. Uma entrada rampa unitária tem 0i(s) = 1Js 2 . Para essa entrada: 1+

=_}:~[ ~+

~°(s) -5~j~

1 .1

G0

(s)]

1 = -----·--

--··-

Erro regime! -·-fJO

1

[19)

Ka

e,s = on~e

Ka é uma constante, conhecida como constante de erro de aceleração . Tem a umdade de segundoÇ 2 .

1201

Ka = lim s 2G 0 (s) s -> 0

A função de transferência de malha aberta G0 é dada pela Equação 18] como: K(s111 + ªm - 1~ - 1 + ªm - 2s'" - 2 + ... a1s + ao) s q("+b s n , 1sJ 1 - I + b n _ 2sn-2 + ... bis + bo)

ERRO EM REGlilfE PERMANENTE PARA UMA . ENTRADA PARABÓLICA O erro em regime permanente ess para um sistema em malha fechada é dado pela Equação

161como: e, 5 = fim [ s _f _ _ IG --) O;(s)] s-> O

+

o(J

Assim o valor de

s2G0 (s) é :

s2K(.f" + ªm - I~ - 1 + ªm - 2s"' - 2 + .. . ais + ao) sq(s"

+ h,, _ is" -

1

+ h,, _ 2·~"

- 2

+ ... h 1s + ho)

Para o sistema tipo O, q = O, portanto s 2 K/sq = s 2 K. Assim. quando s tende a zero, s 2G 0 (s) para o sistema tipo O torna-se zero, e então Ka será zero. O erro em regime permanente scr:í 1/0 011 infinito. Para um sistema tipo 1. q = I, portanto s 2K/s'l = sK. Quando s tende a zero, s 2 G 0 (s) torna-se zero, e então Ka será zero. O erro em regime permanente será 1/0 ou infinito. Para um si stema tipo 2. q = 2, portanto s 2 K/.~q = K.

( 'a11 .

2oV

L'11i;t·1i/1e1ri11 iiE'

o

1. )

' ) .' 1) 1!

)

' ). 1

Figura 9.9

Exemplo 2.

)

Real

Figura 9.10

Exemplo 2.

)

)

), ). 1

).[

_ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ ____ _ _ c_a:...p._9__A_11_álise pelo lugar das rafzes

i1

307

1

i

306

Engenharia de Controle

c,~vA~

Cop. 9

i:>E. «AQ/Vt'PJ/YB

}

[5]

LUGARES DAS RÁÍZES DE SISTEMAS EM .,MALHA FECHADA

)'

)

Considere o sistema em malha fechada genérico mostrado na Figura 9.11. A função de transferência em malha aberta é G 0 (s) com realimentação unitária, a fanção de transferência G(s) para o sistema é:

[ L(s - z1) + L(s - z2) + ... + L(s - z111 )]

- IL (.ç - p1) + L(s -p2) + ... + L(s-p3)]

ç-&VA 11, os ramos tendem do infinito para os pólos de malha aberta. Assim, para um sistema tendo uma equação caracterís tica em malha aberta de s 3 + 2s 2 + 3s + K = O, existirão três ramos de lugares das raízes.

2.

Os lugares das raízes de um sistema com uma equação caracterís tica real são simétrico s com relação ao eixo real. Isto porque as raízes complexa s ocorrem em pares complexo s da forma o ± jw.

3.

Os lugares das raízes começam nos

..i.

Os lugares das raízes terminam nos 111 zeros do sistema, onde 7( = oo. Se existem mais pólos do que zeros, o caso usual, então /11 lugares terminarã o nos /11 zeros, e os lugares restantes (11 -111) terminarã o no infinito.

S.

Os trechos no eixo real que pertencem aos lugares das raízes são seções no eixo real onde o número de pólos e zeros que estão no eixo real à direita desse ponto é ímpar. A Figura 9.16 ilustra essa regra.

/1

'

i·

ser A t.!c11ica ciwda unteriorm ente neste capítulo 1iara o esboço do lugar Jus raízes pode assim resumida:

1.

• ..•

.1 /.1

2 pólos + : 1 pólo + : 1 pólo + 2 zeros ! 2 zeros : 1 zero à d1re1ta : ·à direita : à direita '

(

1 pólo

à direita

o

'~ ' '

~

Figura 9.16

6.

· r· · Aqueles lugares que term·mam no 111 111110 tendem a seouir as ·1ssín101·1 . • 's ' . "' com angulos em relação ao eixo real de : n

Jn

5n

11 - m

n-m

11-111'

=-

!3.~~ ---!'.~ !_ 1f1t li -

Ili

A F~gura ~; 17 mostra exe~plos desses lugares para um sistema onde n=3 e m-0. Os angulos das assmtotas são rt/3 ou 60· • 7t ou 180' e 5rt/3 ou 300'. Imaginário

pólos de um sistema onde K =O .

Figura 9. 17

1

Lugares das raízes no eixo real.

Assíntotas com n"' 3 e m"'

o.

•

/

Cap . 9 314

Análise pelo lugar das raízes

315

Engenharia de Controle · Cap. 9

7.

Imaginário

As assíntotas interceptam o eixo real em um ponto algumas vezes chamado cl'ntro de gral'idade ou centr6ide das assíntotas, dado por:

_( CI__~ P2 '!:._~) li -

(z1

Ponto de ramificação

+ z2 + .. . + Zm)

---,-- ~------o -

Ili

1

·I

-1 ,0

Para o exemplo dado na Figura 9.17, onde os pólos são - l e - 5 ± j3 e não existem zeros, o ponto de intersecção é:

--0,5

Real

- 1 - 5 + j3 l_ 5 - j3 \ - - . -- --3---·-·--'- = - 3 7 .

8.

A intersecção de lugares das raízes com o eixo imaginário pode ser determinada calculando-se os valores de K que resultam em raízes imaginárias. isto é, s = cr + 2 . com cr = (P - caractenst1ca , . s ·3 + 2s + _ "1s + K J(I} 1. or exemp 1o. para .uma equaçao =O. fazendo s =jw, fica - jof - 2ef + 3jw + K =O. Equacionando a pmes imaginárias fica - w3 + 30J =O, e então w =ff; equacionando as partes reais ·fica - 2(1)2 + K =O, e assim K =6.

9.

•I

= 2 _ /i -- -

s + s + K

A equação característica é:

l :li

Porlant0:

l

:I·

K = - s2 - s

11

dK = - 2.1· -- 1 ds

'i '1 11

t '

e o ponto de ramificação está em s = __! 2·

A F~gura 9.19 ilustrn isto, sendo utilizada para determinar o ângulo de !~1rt1da do p6lo c.:omplcxo (- 2 + j2) . O sislema lem p61os em O e (·- 2 ± J-) e nenhum zero. Assim, temos:

rr , t: 'l

-2s-1=0

O termo p1111t z 1 > p 1 ; (b) G0 (s) = K(s + z 1 )/(s + p 1 )(s + p 2 ), c,uando z 1 > p 2 > p 1 ; (e) G0 (s) = K!(s + p 1 )(s + p 2 )(s + p 3 ); (d) G0 (s) = K(s + z 1 ) / (s +a+ jw)(s + cr - jw), quando cr > z 1 ; (e) G0 (s) = K(s + z,)I (s + cr + jw)(s + cr -jrn), quando z 1 > cr 1 ; (f) G0 (s) = K! (s + p 1 ) (s + cr + jw)(s + cr - jw), quando p 1 > cr; (g) G0 (s) = K! (s + p,) (s + cr + jw)(s +a - jw), quando cr > p 1 ; (h) G0 (s) = Kf:;;-~1 (s + p 1)(s + p 2 )(s +a+ jw)(s +a - jw), quando p 2 > p 1 > cr; 6 (i) G (s) = K(s + z )/s(s + p 1 )(s + p 2 ), quando ?; > z 1 > p 1 ; 1 0 (j) G (s) ~ K!s 2 (s + p 1 ); (k) G0 (s) = K(s + z,)/s (s + p 1 ), quando 0 p > z 1 ; (/) G0 (s) = K(s + z 1 )/s2 (s + p 1 )(s + p 2 ), quando p2 > p 1 > z 1 . 1

i

1

1

)

:1

)

1 ( i

~ )

./

)

1

1

il

)

!!I

~

Cap. 9

1

.l,

318

li

)

Engenharia de Controle

1

..._

)

Esboçar os lugares das raízes para um sistema com a seguinte função de transferência: cr + jw K

) ·-

319

EXEMPL04

Imaginário

Imaginário

)

Análise pelo lugar das raízes

Cap. 9

O

)

O

Real

Real

(s

+ 1) (s + 2) (s + 3)

cr - jw

Solução (g)

( f)

Imaginário

Imaginário

Seguindo os passos anteriores:

l.

O

Real

O sistema tem realimentação unitária, e assim a função de transferência de malha fechada será dada pela Equação [ 1] como: Kl(s

Real

G(s)

G(s) -

( i)

(h)

K

----~---­

(s

+

l)(s

+

2)(s

+ 3) +

K

A equação característica é assim:

Imaginário

Imaginário

+ 1) (s + 2) (s + 3) + 1) (s + 2) (s + 3)

= 1 + K/(s

(s

2.

+

1)(s

+ 2)(s + 3) + K =

O

Quando K == O, a equação característica torna-se:

Pólo duplo (s

+

1)(s

+ 2)(s + 3) =O

cntfío os piílos de malha aberta são - I, - 2 e - 3. Nfío existem zeros . (k)

(j)

..

Imaginário

Pólo duplo

3.

A equaçao é de terceira ordem. então existem três ramos de lugares das raízes .

4.

Os lugares das raízes no eixo real estarão entre - 1 e - 2 e de - 3 a infinito.

5.

Os ângulos das assíntotas serão 7t/3 ou 60º, 7t ou 180º e 57t/3 ou 300º.

6.

O ponto de intersecção das assíntotas com o eixo real é: --_1_-_ 2c_-__:;_3 = -2 ,' 3

'1 •I

(/)

'I,

1: i1

il'1

Figura 9.20

Di11 é a freqüência natural angular e· Ç é o coeficiente de amortecimento. Se o coeficiente de amortecimento está entre O e 1, então os pólos são complexos, e o sistema tem uma resposta oscilatória. Para essa condição, podemos escrever:

s2

+ 2Çw,,s + co~ = (s + Cí + jw) (s + Cí - jco) =

s2 +

Figura 9.23

Pólos complexos.

~e a fre~iiência angular de oscilação de um sistema for aumentada, o compri mento d~ hnha unmdo o pólo em malha fechada à origem será também aumentado (Figura 9.24). Se o arnortec1mento aumenta, então o ângulo entre esta linha e o eixo real d -SL' um zero. Entãn as assíntota s passar:10 a ser rr/2 e 3rc/2. Nenhum a delas intercept ará o eixo i111agi11;írio, pois o iugar das raízes será paralelo ao eixo, e o sistema tcr;í

Entào:

sua estabilid ade melhorad a.

e, portanto , ú>

= 4rad/s. Este é o valor da parte imaginár ia da raiz . Ass im :

-t = -.J(K - 9)

EXEM PL09

e então K = 25 . A Figura 9.31 mostra o diagram a do lugar das raízes.

Um sistema tem uma função de transferê ncia de malha aberta de : Imaginário

K= 25 W= 4

Qual o ganho quando exi s te (a) amorteci mento crítico e (b) um coeficien te de amorteci mento de 0,6?

\ ':"., ~: . '

2

\ \

' cos li>= 0,6' - ---'-'----'- --"li----1. ---J.-i.-'> I<

SoÍuçã o

- 6 -5 -4-3

-2 -1

o

i\ h1111;;ú• de transfcn3m:ia de malha fechada do sist.:111a ser;i : G(s) = _ _ K ___ = - · s (s + 6) + K /·

3

K

+ 6s + K

Portanto , as raízes serão:

- 6 ± --./(36 ..../ -- - - ·- - - -4K) - = - 3 ± J(K - 9) 2

Figura 9.31

Exemplo 9.

Real

/

Cap. 9

~ 338

Engenharia de Controle

' ,!

Cap. 9 ,

i

--=

PROBLEMAS 1.

1

l

i

1<

•

1,

Esboce os diagramas cl~s lugares das ra{7.l'S para 11s sbtcmas n11lstrndos na Figura 9.32. Para sistemas de segunda ordem, varie o valor do ganho K de forma que eles sejam criticamente amortecidos.

',li

339 '

'Í

K

(e) ' 1

Análise pelo lugar das rafzes

(s • (d)

K

-~- -···--

9s

+ 25)

-

s-+s+4

3.

,

Determine as freqüências naturais angulares e os coeficientes de amortecimento para sistemas tendo as seguintes funções de transferência de malha fechada com equações características de:

1

(a)

4.

(a)

s 2 +4s+ 16=0

(h)

s 2 +6s+ 12=0

(e)

s 2 + 2s + 10 =O

Determine o tempo de estabilização para 2% e o tempo de subida para um sistema tendo uma função de transferência de malha aberta de:

K ----

(b)

~;;±ar

+ 1) (s2 +

s (s

+ 2)

quando (a) K

5.

=4 e (b) K =16.

Um sistema com a função de transferência

(e)

K (s

+ 1) (s 2 + 9s + 25)

é modificado pela inclusão no ramo direto de um elemento a mais com uma função de trunsfcrénda (s + 2), isto~ . um 1crn cm - 2. Qual será o efeito na cstal>ilidmlc relativa do sistema'?

Figura 9.32

2.

Problema 1.

6.

K Go(s) - - -- -- s (s + 3j

Esboce os diagramas dos lugares das raízes para sistemas tendo as seguintes funções de transferência de malha aberta, identificando pólos, zeros, assíntotas e pontos de rami-

quando existe (a) amortecimento crítico e (b) um coeficiente de amortecimento de 0,3?

; 1

!"

ficação:

7. K(s

(a) (s

+

Esboce o diagrama do lugar das raízes e calcule o ganho para (a) amortecimento crítico e (b) um coeficiente de amortecimento de 0,6 para um sistema tendo uma função de

2)

+ l)(s + 3)(s + 4) K(s

Qual é o ganho para um sistema tendo a função de transferência de malha aberta de:

+ 5)

(b) (s + 2)(s + 4 + j3)(s + 4 - j3)

transferência de malha aberta de: K.

Go(s) = s(s + 1)

---------------------· __________ __..

_______

,,_..

.

·-

!b

-··· _,. __ -·---· -----------·- -

C tlJ> . / (}

" ' 10 ,_'·º

l .J /

onde Kp é uma cow.1:1111e chamada ganh o pro1wrc io11 ,i/ . .-\ _-,aída do cn111rnlad or dqk'1Hk apenas da amplitude do erro no instante de tempo . A fun çüo de transferê nc ia G c (s) para o controlad or é:

MAKllON 1

( '011t1d / udo 1, _\

IJ(Mh

CON TROL ADO RES

121 O controlad or é apenas um amplifica dor com um ganho constante . Um grandi:

erro em algum insianle de tempo acarreta um valor alil) na saída do controiad or nesse instante de tempo. O ganho constante , entretanto , tende a existir somen1e para uma cnta faixa de erros, chamada banda proporcio nal . Um gráfico da saída pelo erro seria uma linha reta com uma inclinação de K dentro da banda p ro1w rcio11a/ (Figura 10. 1). 11

Banda proporcional

CONTROLE PROPORCIONAL

Saída do controlador

' '

~-- -L--- ---

0

Erro

Figura 10.1

Com controle proporcio nal, a saída do controlad or é dirctam.:n te proporcio nal a sua entrada, sendo esta o sinal de erro e, que é uma função do tempo. Assim : (1)

Controle proporcional.

É comum exprimirm os a saída do controlad or como uma porcentag em da saída total possível do controlad or. Assim, uma variação de 100% na saída do cont ro lad or correspon de a uma mudança no erro de um extremo da banda proporc ional a l> ul ro. Assim : K

= _

r

'1 1

(J

11] 1

li

~. ;ia

INTRODUÇÃO Este capítulo diz respeito à seleção da forma apropriad a do controlad or para uma planta em um sistema de controle em malha fechada e à determina ção de parâmetro s convenientes para o controlad or. O controlad or é o elemento no sistema de controle em malha fechada que tem como entrada o sinal de erro c gera uma saída que ~e torna a entrada para o elemento corretivo (ver Capítulo 1). A relação entre a saída e a entrada do controlad or é freqüente mente chamada lei de conrrole. Existem três formas desta lei: p'rúporcio11al, inregra/ e Jerivatil•a. Em alguns sistemas é necessári o melhorar o desempenho do controlad or, o que é conseguid o introduzin do-se elementos adicionais chamados compensadores nos sistemas de controle . Essa alteração é chamada co111pe11sa r;ão .

' 1 il

_ _ !_O_ O_ __

Banda proporcional

Como a saíd.1 o

=l/s:

[s 1· +- IKrh(s -- t___ _+i)j ~1 ]

= -1 =o

Sistema com controle proporcional.

A desvantagem principal dessa ação de controle é que o controlador não introduz o termo 1/s ou integrador no ramo direto. Isto significa que, se o sistema era do tipo O, continua sendo tipo O, e portanto com erro em regime permanente (ver Capítulo 7). O controlador não introduz quaisquer novos pólos ou zeros ao sistema, somente determina a localização dos pólos em malha fechada. Isto acontece porque a função de transferência de malha fechada com controlador e realimentação unitária é:

J __

onde, para uma entrada degrau 0i(s)

. !

-,

1

1)

E é tipo 1: Ver Capflulo 7 para maiores discussões.

[4]

Controlador

1

Tempo

O controle proporcional é simples de aplicar, requerendo essencialmente alguma fonna de amplificação. Pode ser um amplificador eletrônico ou um amplificador mecânico na forma de uma alavanca (ver mais adiante neste capítulo). O sistema de controle com controle proporcional tem a forma mostrada na Figura 10.3. O resultado é a função de transferência de malha aberta:

:1

343 .

EXEMPLOJ

Saldado controlador

Figura 10.2

Controladores

Cap. 10

"" Para uma entrada degrau, um sistema tipo I tem erro em regime permanente zero.

(ii)

p ara u~na entrada rampa, a entrada é 1/s e o erro em regime permànente e:

• ~ J;,~

.1·1·1

f11gc11/wri.i de< '011/r'. '"'

'i

I ~· .

..

.

C•t/> . 10

Contro lador

CONTROLE INTEGRAL Com o con1ro k in1