Exercícios de Matemática Vol. 2

67 Pages • 3,040 Words • PDF • 3 MB
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) ) ) )

)

√ √

)





) ) ) )

) ) )

. (

) (

)

/

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)

{

( )

) ( ) ) ( ) ) ( )

(

)

(

)

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(





)

∫ ∫











(













∫ ∫ ∫ ∫

(



(

)



)

)

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(

)



(

)





(

 Verificar se as seguintes integrais são convergentes: ∫



































∫(

)

)

(

)

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85º Transformar as seguintes integrais, usando-se as substituição indicadas: ) ∫√

)∫

)∫



√ )∫ ( )

 Utilizando as substituições indicadas, calcular as seguintes integrais: ∫

√ (

∫ (

) )

∫ √



( )

∫√



∫ √







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 ∫



∫√



(



)

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )







(

)

)

∫ ( )

∫ (







∫ (



∫ ( )

)

(

)



∫ ,(

)

∫ (

)

∫ (

-

)

(

)

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 Integração por parte. Calcular as seguintes integrais, empregando-se a fórmula de integração por parte:













(

)

(

)



(

)

(

)

∫√





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∫ √





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 120º. Calcular a área da figura limitada pela parábola abcissas.

pelo eixo das

121º. Calcular a área da figura limitada pela curva

e pela

pelo eixo

recta

122º. Achar a área da figura limitada pela curva

(

123º. Achar a área da figura limitada pela curva vertical

)(

) e pelo eixo

, pela recta

e pela

124º. Calcular a área da figura compreendida entre semionda da sinusóide e o eixo 125º. Calcular a área da figura compreendida entre a curva recta

o eixo

ea

126º. Calcular a área da figura compreendida entre a hipérbole ( ) e o eixo verticais

as

127º. Achar a área da figura compreendida entre a curva de Agnesi

e o

eixo das abcissas 127º Calcular a área da figura limitada pela curva 128º. Achar a área da figura limitada pela parábola

a recta

e o eixo pela

129º. Achar a área da figura limitada pelas parábolas 130º. Calcular a área do segmento da parábola

que corta a recta

131º. Calcular a área da figura compreendida entre as parábolas

132º. Calcular a área da figura compreendida entre a curva de Agnisi parábola

e a

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133º. Calcular a área da figura limitada pelas curvas

e a recta

134º. Calcular a área da figura limitada pela hipérbole

e a recta

135º. Achar a área da figura compreendida entre a catenária eixo

e a recta

(

o

)

136º. Achar a área da figura limitada pela astroide 137º. Calcular a área da superfície compreendida entre a circuferência ( ) e a parábola 138º. Achar a área contida no interior do astroide (

139º. Achar a área da figura limitada por um ramo da trocoide { ) e a tangente da mesma em seus pontos inferiores. 140º. Achar a área da figura limitada pelo laçoda fohla de Descarte

141º. Achar a área da figura limitada pela cardiode {

( (

) )

142º. Achar a área limitada pela curva (

143º. Achar a área da figura limitada pela curva círculo 144º. Achar a área da figura limitada pela elípse

) que está fora do

(

)

 Comprimento do arco da curva. 145º.

Achar o comprimento do arco da catenária

vértice (

) até o (

. / desde o

)

146º. Calcular o comprimento do arco da parábola semi-cúbica origem das coordenadas até o ponto, cujas coordenadas são 147º. Achar o comprimento do arco da evoluta da elípse

desde a

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(

)

148º. Achar o comprimento do arco da cuva

desde

149º. Achar o comprimento do arco da cuva

(

até

)

150º. Achar o comprimento do arco da evolvente do círculo{ desde

( (

até √

151º. Achar o comprimento do arco do ramo direito do tractriz |

) )



| desde

até

(

) (

152º. Achar o comprimento da parte fechada da curva 153º. Achar o comprimento do arco da cuva

desde (

154º. Achar o comprimento do arco



) desde

155º. Achar o comprimento do arco da cuva ) ( ) pontos ( 156º. Achar o comprimento da cuva {

√ até

)

compreendido entre os

( (

) ) (

157º. Achar o comprimento total da cardiode 158º. Achar o comprimento do arco da parábola

) . /, cortada da mesma

por uma recta vertical que passa pelo polo. 159º. Achar o comprimento dada primeira espira, da espiral de Arquimedes

 Volumes dos corpos sólidos. 160º. Achar o volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo ( ) superfície limitada pelo eixo e a parábola

da

161º. Achar o volume do elipsoide, formado pela rotação da elípse

em

torno do eixo 162º. Achar o volume do corpo, formado ao girar em torno do eixo limitada pela cetenária

. / o eixo

e as rectas

da superfície

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163º. Achar o volume do corpo formado pela rotação da superfície limitado pelas linhas em torno: a) Do eixo

b) Do eixo

164º. Achar o volume do corpo formado pela rotação do astróide em torno do eixo 165º. Achar o volume do corpo formado pela rotação da figura limitada por um ( ) ( )( ) e pelo eixo arco ciclóide em torno : Do eixo

;

Do eixo

e

Do eixo da simetria da figura.

166º. Achar o volume da parábola de revoloção, se o raio de sua base é altura é 167º. Achar o volume do corpo que se forma ao girar a cissóide

e sua

em torno

de sua assintota 168º. Achar o volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo ) ( )( ) da curva (

do laço

169º. Achar o volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo superfície compreendeda entre as parábolas √ 170º. Achar o volume do corpo formado pela rotação cardiode torno do eixo polar. 171º. Achar o volume do corpo formado pela rotação da curva do eixo.

(

da ) em

em torno

172º. Achar o volume do abelisco, cujas bases paralelas são rectângulos de lados sendo a altura igual a

173º Achar o volume do cone elíptico recto, cuja base é uma elípse de semi-eixo a e b cuja altura é igual a 174º Achar o volume do corpo limitado pelos cilindros 175º Achar o volume do segmento do parabolóide elíptico pelo plano

interceptado

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176º Achar o volume do corpo limitado pelos hiperbólóide de uma folha 1 e os planos 177º Achar o volume do elipsóide

 Áreas da superfície de revolução 178º. Achar a área da superfície do fuso que forma ao girar uma simionda da sinusóide em torno do eixo 179º. Achar a área da superfície formada pela rotação da pate da tangentoide compreendida entre , em torno do eixo 180º. Achar a área da superfície formada pela rotação em torno do eixo do arco da curva

compreendido entre

181º. Achar a área da superfície da revolução do astróide eixo

em torno do

182º. Achar a área da superfície da revolução da curva

em torno do

eixo

compreendido entre

e

183º. Achar a área da superfície ao girar a elípse a) Do eixo

;

em torno:

b) Do eixo (

184º. Achar a área da superfície formada pela rotação da cardióde )em torno do eixo polar 185º. Achar a área da superfície formada pela rotação em torno do eixo ( ) cardióide { ( )

da

(

) em

186º. Achar a área da superfície formada ao girar a lerminscata torno do eixo polar.

 Momentos. Centro de gravidade. Teoremas de Guldin. 187º. Achar os momentos estáticos em relação aos eixos das coordenadas, do segmento da linha recta compreendido entre eixos de coordenadas.

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188º. Achar os momentos estáticos do rectângulo de lados a e b, em relação a estes mesmos lados. 189º. Achar os momentos estáticos em relação aos eixos do cento da gravidade do triângulo limitado pelas rectas

190º. Achar os momentos estáticos em relação aos eixos do cento da gravidade do arco do astróide quadrante

e

e as coordenadas

e as coordenadas situado no primeiro

191º. Achar os momentos estáticos da circunferência eixo polar.

em relação ao

192º. Achar as coordenadas do centro de gravidade de arco da catenária . / compreendido entre 193º. Achar as coordenadas do centro de gravidade do primeiro arco da ( ) ( )( ) ciclóide 194º. Achar as coordenadas do centro de gravidade da figura limitada pela elípse

e pelos eixos das coordenadas

(

)

195º. Achar as coordenadas do centro de gravidade da figura limitada pelascurvas √ 196º. Achar as coordenadas do centro de gravidade da figura limitada pelo ( ) ( ) e o eixo OX. primeiro erco da ciclóide 197º. Achar o momento de inércia de um cone circular recto, homogêneo, em relação a seu eixo, se o raio da base é e a altura é 198º. Achar o momento de inércia de um globo homogênio de raio relação ao seu diâmetro.

e massa

, em

199º. Achar o momento de polar de inércia de um anel circular, de raios ( ) istó é, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro do anel e é perpendicular ao plano do mesmo. 200º. Achar o momento de inércia da superfície da elípse seus eixos principais.

em relação a

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201º. Achar o momento de inércia de uma circuferência ae raio seu próprio diâmetro.

em relação ao

202º. Achar o momento de inércia de um segmento parabólico recto em relação ao seu eixo de simetria, se a base é 2b e a altura é h. 203º. Achar a área do volume de um toro obtido pela rotação que um círculo de raio em torno de um eixo situado no mesmo plano que o círculo e que se encotra ) do centro deste. a uma distância b ( 204º. a) Determinar a posição docentro de gravidade do arco do astroide situado no primeiro quadrante. b) Achar o centro de gravidade da figura limitada pelas curvas

205º. a) teorema

Achar

o

centro

de

gravidade

do

semi-circulo,

aplicando

o

b) Demonstrar, aplicando o teorema de Guldin, que o centro de gravidade do triângulo desta sua base em um terço da altura.

 Aplicação das integrais definidas na resolução de problemas da física. 206º. A velocidade de um corpo lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial considerando-se a resistencia da ar, é expressa pela fórmula ( ), onde t é o tempo transcorrido; aceleração da gravidade e c é uma constante. Achar a que altura se eleva o corpo. 207º. Um ponto de eixo vibra harmonicamente em torno da origem das ( ) onde é o coordenadas com uma velocideda que é dada pela fórmula tempo são constantes. Achar a lei de vibração do ponto, se para t=0 a abcissa era A que será igual o valor médio da grandeza absoluta da velocidade do ponto, durante o periodo de oscilação? ⁄ Achar o trajecto 208º. A velocidade do movimento de um ponto é percorrido pelo ponto desde que começou a mover-se até que pare por completo.

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209º. Calcular o trabalho necessário para retirar a água que se encotra em uma cuba cônica, com o vértice para baixo, sendo o raio da base e uma altura 210º. Calcular o trabalho necessário para retirar a água de uma caldeira semiesférica que tem um raio 211º. Que trabalho é necessário realizar para levantar um corpo de massa m da superfície da terra, cujo raio é na altura ?A que será igual este traballho se é necesário levar este corpo ao infinito? 212º. Duas cargas elétricas respectivamente nos pontos segunda carga for transladada ao ponto

se encotram no eixo , Que trabalho se realizará se a

213º. Achar a quantidade de calor que desprende uma corrente alternada sinusoidal Aqui

.

/ durante o periodo

é a amplitude da corrente; , o tempo;

em um condutor de resistência . a fase.

214º. Calcular a energia cinética de um como circular recto, de massa M, que gira em torno de seu eixo com uma velocidade angular ω.O raio da base do cone é a altuda 215º. Que trabalho é necessário realizar para determinar uma bola de ferro de raio que gira, em torno de seu diâmetro, com uma velocedade ( ⁄ ) 216º. Segundo os dados empíricos a capacidade calorífica específica da água á ( ) temperatura Que quantidade de calor se necessita para aquecer 1g de água desde 0° até

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Anéxos



 Regras de Derivação Sejam:

uma constante,

Nº 01

e g funıes: tem

uma variÆvel e

Derivadas das Funções , ( )( ) , ( ) ( ) ( )( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] , ( )( )

02 03 04

, ( ( ))-

05 06

, ( )-

( )

( )

-se:

Nome Derivada do produto de uma constante por uma funªo Derivada da soma Derivada do produto Derivada do quociente Derivada da funªo composta Derivada da funªo inversa

( )

 Tabela de Derivação Seja

e

constante s;

n” neperiano,

(

)

*, ( )- +

(√ )

04

(√

) (

05 (

06

0√ ( )1



)

[

)

* +

( (

) * + ) )

( )

( )

]

]

( ) , ( )- ( ( ) ( )

}

( )-

( )

√ ( ) ( ) √, ( )( ) ( )

( )

,

) ( (

( )

[ {, ( )-

08

, ( )( )

. √, ( )- /



07

10 11

n” natural. Tem -se: Função

Nº 01 02 03

09

e

( ) )

( ) ( ) , ( )( ) , ( )( ) , ( )( )

* + ( )

, ( )-

( ) * + ( ) ( )

( )

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12

(

13

)

(

)

14

(

21

(

22 23 24

(

) )

(

,

) (

27

)

( )

(



(

)

) )

 Integrias Regras Principais ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫, ( )

( ) ∫ ( ) ( )∫ ( )

( )-

,

( )-

(



30

1”. 2”. 3”. 4”.

,

)

∫ ( )

( )

( ) ( )

( )-

(

( ) ( )

( )

( )-

,

) (

)

)

, ( )( ) , ( )( ) , ( )-

( )

, (



( ) ( )

( )

( )( )-





( (

( )-

, )

( )( )-

( )-

,

(

26

29

)

, ( )( )



( )-

, , ,

( )

( )-

,

)

(

( ),

) )

( )

( )-

,(



)

( (

18 19 20

,

( ) ( ) ( ) √, ( )( )

√, ( )( ) , ( )( ) , ( )( ) ( ) √ )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

)

(

( )

( )-



) (

17

28

)

(

16

( )-

,

(

15

25

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(, ( )-

)

(, ( )-

)

(, ( )-

)

(, ( ), ( )( )

( ) √, ( )-

)

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 As Principais Tabelas das Integrais Seja

e

duas funções deriváveis de e

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ |



| |



|

|



| |



|

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

| √ √

|

|



|

|



|

√ √

| |

e

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 As Principais Formúlas de Recorrência ∫

(

)∫



(

)∫

∫ ∫ ∫ ∫

(



) (

)

(

) (

∫ (

)

)∫ (

)∫
Exercícios de Matemática Vol. 2

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