GA - Cap. 3 e 4

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Capítulo 3 Produto Vetorial − − − Sejam → u = (x1 , y1 , z1 ) e → v = (x2 , y2 , z2 ) dois vetores em R3 . Definimos o produto vetorial de → u − − − por → v , e o denotamos por → u ×→ v , como o seguinte vetor: → − − u ×→ v = (y1 z2 − z1 y2 , z1 x2 − x1 z2 , x1 y2 − y1 x2 ) −ı + (z x − x z )→ − → − = (y1 z2 − z1 y2 )→ 1 2 1 2  + (x1 y2 − y1 x2 ) κ .

(3.1)

Notamos que, de acordo com a definição, o produto vetorial é um vetor em R3 . Um dispositivo prático para determinar as coordenadas do produto vetorial é dado pela expressão a seguir: → − → − u × v =

→ −ı → − → − κ x1 y 1

z1

x2 y 2

z2

.

(3.2)

− − Exemplo 3.1. Determinar as coordenadas do produto vetorial de → u = (2, −5, −3) por → v = (1, 0, −4).

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Utilizando o dispositivo prático em (3.2), temos: → − → − u × v =

→ − κ → − → − → − −5 −3 = 20 ı + 5  + 5 κ = (20, 5, 5). 0 −4

→ −ı → − 2 1

(3.3)

A proposição a seguir lista as propriedades mais importantes do produto vetorial. − − − Proposição 3.2. Sejam → u, → v e → w três vetores em R3 , e a um número real. → − − − 1. → u ×→ u = 0; − − − − 2. → v ×→ u = −(→ u ×→ v ) (Anticomutatividade); − − − − − − − 3. → u ×(→ v +→ w) = → u ×→ v +→ u ×→ w

− − − − − − − e (→ u +→ v )× → w =→ u ×→ w +→ v ×→ w (Distributividade);

− − − − − − 4. (a→ u)×→ v = a(→ u ×→ v)=→ u × (a→ v ); → − − − − − 5. → u ×→ v = 0 se, e somente se, → u e → v são paralelos; − − − − − − − − − − 6. → u ×→ v é simultaneamente ortogonal a → u ea → v , isto é, (→ u ×→ v)⊥→ u e (→ u ×→ v)⊥→ v;

− − − − − − 7. Se → w é simultaneamente ortogonal a → u ea → v , então → w é paralelo a → u ×→ v;

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8. Vale a regra da mão direita (uma regra que indica o sentido do produto vetorial); − − − − − − 9. |→ u ×→ v |2 = |→ u |2 · |→ v | 2 − (→ u ·→ v )2 ; − − − − − − 10. |→ u ×→ v | = |→ u | · |→ v | · sen (∠(→ u ,→ v )). − − − − − − Exemplo 3.3. Sabendo que → u ×→ v = (2, −4, 1), calcule (3→ v − 2→ u ) × (4→ u + 5→ v ). Vamos utilizar algumas das propriedades da Proposição 3.2. 3 − − − − − − − − − − (3→ v − 2→ u ) × (4→ u + 5→ v ) = (3→ v − 2→ u ) × (4→ u ) + (3→ v − 2→ u ) × (5→ v) 3 − − − − − − − − v ) × (5→ v ) −(2→ u ) × (5→ v) = (3→ v ) × (4→ u ) − (2→ u ) × (4→ u ) + (3→ {z } | {z } | − → =0

− → =0

5 − − − − = (3→ v ) × (4→ u ) − (2→ u ) × (5→ v)

4 − − − − = (3 × 4)(→ v ×→ u ) − (2 × 5)(→ u ×→ v) 2 − − − − = 12(−(→ u ×→ v )) − 10(→ u ×→ v)

− − − − = −12(→ u ×→ v ) − 10(→ u ×→ v) − − = −22(→ u ×→ v) = (−44, 88, −22).

Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial − − Dados quaisquer vetores → u e → v em R3 , vamos mostrar a seguir que a área do paralelogramo1 − − determinado por eles pode ser calculada por |→ u ×→ v |. −→ − −→ − − − Sejam → u = AB e → v = AC dois vetores quaisquer. Se → u e → v são paralelos, então o paralelogramo determinado por eles é degenerado, possuindo portanto área nula. Por outro lado, nesse caso, o 1

− − Se → u e → v são paralelos, eles determinam um paralelogramo dito degenerado, que possui área nula.

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produto vetorial entre esses vetores coincide com o vetor nulo (propriedade 5 da Proposição 3.2), que possui módulo nulo, provando o desejado nesse caso particular. −→ − −→ − Suponhamos então que → u = AB e → v = AC não sejam paralelos, e consideremos o paralelogramo ABDC determinado por eles. Denotemos por h a altura de ABDC relativa ao lado AB, e − − por θ o ângulo ∠(→ u ,→ v ).

h − Notamos que Área(ABDC) = |→ u | · h. Por outro lado, temos que sen θ = → e, consequente− |v| − mente, temos que h = |→ v | · sen θ. Logo, pela propriedade 10 da Proposição 3.2, concluímos que − − − − Área(ABDC) = |→ u | · |→ v | · sen θ = |→ u ×→ v |, como desejávamos provar. − − Exemplo 3.4. Considerando os vetores → u = (0, 2, −3) e → v = (1, 1, −1), vamos calcular a área do paralelogramo determinado por eles. − − Para isso, de acordo com a discussão realizada acima, basta calcular o valor de |→ u ×→ v |. Nota-se inicialmente que

→ − → − | u × v | =

→ −ı → − → − κ 0 2 −3 = (1, −3, −2). 1 1 −1 46

√ − − − Portanto, temos que |→ u ×→ v | = 14. Logo, a área do paralelogramo determinado pelos vetores → u e √ → − v vale 14. O produto vetorial também pode ser utilizado para calcular a área de triângulos, conhecendo-se as coordenadas de seus três vértices. Sejam A, B e C três pontos no espaço, e ABC o triângulo2 determinado por eles. Seja D um ponto tal que ABDC seja um paralelogramo, com uma de suas diagonais BC.

Como cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes (e, portanto, de mesma área), temos que a área de ABC corresponde à metade da área de ABDC. Porém, este para−→ −→ −→ −→ lelogramo, sendo determinado pelos vetores AB e AC, possui área |AB × AC|. Consequentemente, −→ −→ |AB × AC| . Área(ABC) = 2

(3.4)

Exemplo 3.5. Determinar a altura relativa à base AC do triângulo ABC, sabendo que A = (2, 0, 0), B = (4, 1, 3) e C = (1, 1, 1). −→ Primeiramente, calculemos a área de ABC. Para isso, notamos primeiramente que AB = (2, 1, 3) 2

Caso A, B e C sejam colineares, o triângulo ABC é dito degenerado, possuindo, portanto, área nula.

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−→ e AC = (−1, 1, 1). Consequentemente, temos que −→ −→ AB × AC =

→ −ı → − → − κ 2

1

3

−1

1

1

= (−2, −5, 3).

√ −→ −→ Logo, temos que |AB × AC| = 38. Consequentemente, a área de ABC vale

√

38 . Por outro lado, 2 a área de um triângulo equivale à metade do produto de uma base pela sua altura relativa. Em outros termos, temos

Como Área(ABC) =

−→ |AC| · hAC Área(ABC) = . 2 √

√ √ √ −→ 38 38 114 e |AC| = 3, concluímos que hAC = √ = . 2 3 3

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Capítulo 4 Produto Misto − − − Sejam → u = (x1 , y1 , z1 ), → v = (x2 , y2 , z2 ) e → w = (x3 , y3 , z3 ) três vetores em R3 . Definimos o − − − − − − produto misto de → u, → v e → w (nesta ordem), denotado por [→ u ,→ v ,→ w ], por x y z 1 1 1 → − → − → − [ u , v , w ] = x2 y2 z2 . x y z 3 3 3

(4.1)

− − − Como as coordenadas de → u, → v e → w são números reais, e o produto misto é definido a partir do determinante de uma matriz cujas entradas coincidem com tais coordenadas, temos que o produto misto de três vetores é um número real. − − − − − − − − − Exercício 4.1. Mostre que [→ u ,→ v ,→ w] = → u · (→ v ×→ w ), para quaisquer vetores → u, → v e → w em R3 . − − − Exemplo 4.2. Calculemos o produto misto de → u = (2, 3, 1), → v = (0, 2, −4) e → w = (−1, 2, 2).

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2 3 1 → − → − → − Pela expressão (4.1), temos que [ u , v , w ] = 0 2 −4 = 38. −1 2 2

A proposição a seguir lista as principais propriedades do produto misto.

− − − − Proposição 4.3. Sejam → u, → v, → w e → x quatro vetores em R3 , e a um número real. − − − − − − 1. [→ u ,→ v ,→ w ] = 0 se, e somente se, → u, → v e → w são coplanares; − − − − − − 2. [→ v ,→ u ,→ w ] = −[→ u ,→ v ,→ w],

− − − − − − [→ w,→ v ,→ u ] = −[→ u ,→ v ,→ w],

− − − − − − [→ u ,→ w,→ v ] = −[→ u ,→ v ,→ w ];

− − − − − − − − − − 3. [→ u ,→ v ,→ w +→ x ] = [→ u ,→ v ,→ w ] + [→ u ,→ v ,→ x ], − − − − − − − − − − [→ u ,→ v +→ x ,→ w ] = [→ u ,→ v ,→ w ] + [→ u ,→ x ,→ w ], − − − − − − − − − − [→ u +→ x ,→ v ,→ w ] = [→ u ,→ v ,→ w ] + [→ x ,→ v ,→ w ]; − − − − − − − − − − − − 4. [→ u ,→ v , a→ w ] = a[→ u ,→ v ,→ w ] = [→ u , a→ v ,→ w ] = [a→ u ,→ v ,→ w ]. Exemplo 4.4. Em cada item a seguir, verificar se os vetores dados são coplanares. − − − a) → u = (1, 0, 2), → v = (2, 3, 3) e → w = (−3, −6, −4). Pela propriedade 1 da Proposição 4.3, basta verificar a nulidade do determinante a seguir: 1 0 2 → − → − → − [ u , v , w ] = 2 3 3 = 0. −3 −6 −4 − − − Como [→ u ,→ v ,→ w ] = 0, concluímos que os três vetores dados são coplanares. Podemos notar − − − − − adicionalmente que → w =→ u − 2→ v (isto é, → w pode ser escrito como combinação linear de → u − e → v ).

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− − − b) → u = (3, 0, 3), → v = (1, 1, 1) e → w = (2, 3, 0). Notamos, nesse caso, que

3 0 3 → − → − → − [ u , v , w ] = 1 1 1 = −6. 2 3 0

− − − Como [→ u ,→ v ,→ w ] 6= 0, concluímos que os três vetores dados não são coplanares. Em particular, nenhum dos três pode ser escrito como combinação linear dos outros dois, e o conjunto − − − {→ u, → v,→ w } é uma base de R3 . Para verificar se quatro pontos são coplanares, é equivalente verificar se os três vetores representados por segmentos orientados com origem em um dos pontos e extremidades finais nos outros três são coplanares. Em outros termos, quatro pontos A, B, C e D são coplanares se, e somente se, os três −→ −→ −−→ vetores AB, AC e AD são coplanares. Exemplo 4.5. Consideremos os pontos A = (1, 2, 1), B = (2, 3, 0), C = (−1, 1, 3), D = (3, 2, −1) e E = (1, 0, 0). Em cada item a seguir, verifique se os quatro pontos indicados são coplanares. a) A, B, C e D −→ −→ −−→ De acordo com o discutido acima, basta verificar se os vetores AB, AC e AD são coplanares. −→ Para isso, vamos calcular o produto misto deles. Notamos inicialmente que AB = (1, 1, −1), −→ −−→ AC = (−2, −1, 2) e AD = (2, 0, −2). 1 1 −1 −→ −→ −−→ [AB, AC, AD] = −2 −1 2 = 0. 2 0 −2 51

−→ −→ −−→ Sendo assim, os três vetores AB, AC e AD são coplanares e, consequentemente, os quatro pontos A, B, C e D são coplanares. b) A, B, C e E −→ −→ −→ −→ −→ Vejamos se os três vetores AB, AC e AE são coplanares. Como AB = (1, 1, −1), AC = −→ (−2, −1, 2) e AE = (0, −2, −1), temos: 1 1 −1 −→ −→ −→ [AB, AC, AE] = −2 −1 2 0 −2 −1

= −3 6= 0.

−→ −→ −→ Portanto, os três vetores AB, AC e AE não são coplanares e, consequentemente, os quatro pontos A, B, C e D não são coplanares. − − − − − − − − Exemplo 4.6. Sabendo que [→ u ,→ v ,→ w ] = −3, calcule [3→ v − 2→ u , 4→ u + 5→ w,→ v ]. Vamos utilizar as propriedades da Proposição 4.3 para cal cular esse produto misto. 3 − − − − − − − − − − − − − [3→ v − 2→ u , 4→ u + 5→ w,→ v ] = [3→ v − 2→ u , 4→ u ,→ v ] +[3→ v − 2→ u , 5→ w,→ v] | {z } =0

− − − − = [3→ v − 2→ u , 5→ w,→ v] 1

3 − − − − − − u , 5→ w,→ v] = [3→ v , 5→ w,→ v ] −[2→ {z } | =0

− − − = −[2→ u , 5→ w,→ v] 1

4 − − − = −(2 × 5)[→ u ,→ w,→ v]

− − − = −10(−[→ u ,→ v ,→ w ]) 2

− − − = 10[→ u ,→ v ,→ w] = −30. 52

Interpretação geométrica do módulo do produto misto − − − Dados quaisquer vetores → u, → v e → w , vamos provar a seguir que o volume do paralelepípedo1 deter− − − minado por eles pode ser calculado por |[→ u ,→ v ,→ w ]|.

− − − Se → u, → v e→ w são coplanares, então o paralelepípedo determinado por eles é degenerado e possui

volume nulo. Por outro lado, pela propriedade 1 da Proposição 4.3, sabemos que o produto misto de três vetores coplanares também é nulo, provando o desejado, supondo que os três vetores sejam coplanares. − − − Suponhamos então que → u, → v e → w não sejam coplanares, e os representemos com a mesma −→ − −→ − −−→ − origem; digamos, → u = AB, → v = AC e → w = AD. Lembramos que o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto da área de uma base pela sua altura relativa. − − Tomemos como base de tal paralelepípedo à dada pelo paralelogramo determinado por → v e → w. Denotando por h tal altura, temos que: − − Vol = |→ v ×→ w | · h.

(4.2)

− − − Vamos agora calcular h em função de → u, → v e → w . Tomemos um ponto2 E de modo que AE −→ seja perpendicular a EB. Note que AE é a altura do paralelepípedo relativa à base determinada por −→ → − − v e → w , isto é, h = AE .

−→ − − Portanto, o vetor AE é simultaneamente perpendicular a → v ea → w . Pela propriedade 7 da Pro− − − Caso → u, → v e → w sejam coplanares, tal paralelepípedo é dito degenerado, possuindo portanto volume nulo. Tal ponto E pode ser obtido traçando-se, por A, uma reta perpendicular ao plano determinado por A, B e C, e obtendo sua interseção com o plano paralelo a este que passa por B. 1

2

53

−→ −−→ −→ −→ − − − − posição 3.2, temos que AE é paralelo a → v ×→ w . Por sua vez, como EB ⊥ AE e AE // → v ×→ w, −−→ − → temos que EB ⊥ → v ×− w . Em suma, temos o seguinte:   −→ −−→  → −  u = AE + EB     −→ → − . AE // − v ×→ w      −−→ − →   EB ⊥ → v ×− w

(4.3)

−→ → − → → Portanto, temos que AE = proj− v ×− w u . Sendo assim, a altura do paralelepípedo relativa à base → − − − → → determinada pelos vetores → v e → w é dada por h = |proj− v ×− w u |. Assim, pelo Exercício 2.7, temos: − − − |→ u · (→ v ×→ w )| → − → − | v × w| → − − − |[ u , → v ,→ w ]| . = → − → − | v × w|

→ − → → h = |proj− v ×− w u| =

Sendo assim, substituindo esse valor de h em (4.2), temos − − v ×→ w| · h Vol = |→ − − = |→ v ×→ w| ·

− − − |[→ u ,→ v ,→ w ]| → − → − | v × w|

− − − = |[→ u ,→ v ,→ w ]|, o que desejávamos provar.

− − Exemplo 4.7. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores → u = (1, 0, 1), → v = − (−1, 1, 0) e → w = (2, 1, 1).

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− − − Pelo que vimos acima, basta determinar o valor absoluto do produto misto de → u, → v e → w. 1 0 1 → − → − → − [ u , v , w ] = −1 1 0 = −2. 2 1 1 Portanto, o volume de tal paralelepípedo vale | − 2| = 2. O produto misto também pode ser utilizado para calcular o volume de um tetraedro (pirâmide de 3 base triangular). Dados quatro pontos A, B, C e D em R , o volume do tetraedro de vértices nesses − → − → − − → [AB, AC, AD] . quatro pontos pode ser calculado por 6

Exercício 4.8. Mostre que o volume do tetraedro de vértices em A = (1, 0, 0), B = (2, 3, 3), C = (1, 1, 0) e D = (−1, 0, 0) vale 1.

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