Grupos de Lie (D. Ross)

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Cap´ıtulo 1 ´ Grupos e Algebras de Lie 1.1

Grupos de Lie e Exemplos Cl´ assicos

Defini¸c˜ ao 1. Um grupo de Lie ´e uma variedade diferenci´avel G que tamb´em ´e um grupo tal que a multiplica¸c˜ao do grupo µ : G × G −→ G ´e diferenci´avel. Defini¸c˜ ao 2. Se G e H s˜ao grupos de Lie, dizemos que φ : G −→ H ´e um homomorfismo de grupos de Lie se: (a) φ ´e homomorfismo de grupos; (b) φ ´e diferenci´avel. Em todo texto diferenci´ avel significa de classe C ∞ . Grupos de Lie e homomorfismos formam uma categoria. Em particular, podemos usar as no¸co˜es categ´oricas usuais. Exemplo 1. todo espa¸co vetorial de dimens˜ao finita com suas estrutura de grupo abeliano ´e um grupo de Lie. Assim, a menos de isomorfismos, temos os grupos Rn , n ∈ N0 . 1

2

´ CAP´ITULO 1. GRUPOS E ALGEBRAS DE LIE

Exemplo 2. O toro Rn /Zn ' (S 1 )n e um grupo de Lie. Aqui S 1 = {z ∈ C : |z| = 1} ´e o c´ırculo unit´ario visto como subgrupo multiplicativo de C e o isomorfismo R/Z −→ S 1 ´e induzido por t 7−→ e2πit . Exemplo 3. Se G e H s˜ao grupos de Lie ent˜ao G × H tamb´em ´e grupo de Lie. Aconcete que todo grupo de Lie abeliano conexo ´e isomorfo ao produto de um espa¸co vetorial e um toro. Exemplo 4. Seja V um K-espa¸co vetorial de dimens˜ao finita sendo K = R ou C. O conjunto Aut(V ) dos automorfismos lineares de V ´e um aberto de End(V ) das aplica¸c˜oes lineares V −→ V , pois Aut(V ) := {A ∈ End(V ) : det(A) 6= 0} e o determinante ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua.
Grupos de Lie (D. Ross)

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