Guía Medidas de dispersión y posición

SAVE OFFLINE

GUíA

GUIC3M035M311-A17V1

Medidas de dispersión y posición

MATEMÁTICA - programa 3º medio

ia nc

de

sd

en et

a did l e M ntra ce

pe

ón rsi

is ed

sd

a did ón e M sici po

sy

y

- Medidas de posición. - Medidas de dispersión: rango, desviación estándar y varianza.

s ato D yo sa

b

om sc a ic cn reo Té est mu



CONTENIDOS

ria to a in

n

nie

Mi

¿Qué aprenderemos hoy?

En esta sesión recordaremos las medidas de posición y cómo se interpretan en una muestra de datos. Además, estudiaremos las medidas de dispersión y la forma en que se comportan al variar los datos de una muestra. Finalmente, aplicaremos estos conocimientos a la resolución de ejercicios tipo PSU.

sección 1: Cuantiles Las medidas de posición sirven para dividir un conjunto de datos ordenados en partes iguales, es decir, que cada una de esas partes contenga la misma cantidad de datos. Seguramente ya habrán oído acerca de los deciles de ingreso en el caso de querer postular a una beca de estudios o acceder a la Gratuidad en la Educación Superior; o también en el caso de la distribución de los puntajes de la PSU, por ejemplo, un estudiante que obtuvo 600 puntos en la prueba de Matemática corresponde al percentil 83. A continuación recordaremos cómo calcular e interpretar estas medidas de posición.

1

Las medidas de posición también se conocen como cuantiles. Junto a su profesor, completen las afirmaciones del siguiente recuadro. Dados n datos cuantitativos de una variable estadística X, se tiene que:

• Percentiles son los valores que dividen a la muestra en _____ subconjuntos que agrupan el ____ de los datos cada uno.

• Deciles son los valores que dividen a la muestra en ______ subconjuntos que agrupan el ____ de los datos • •

2

cada uno. Quintiles son los valores que dividen a la muestra en ______ subconjuntos que agrupan el ____ de los datos cada uno. Cuartiles son los valores que dividen a la muestra en _____ subconjuntos que agrupan el ____ de los datos cada uno.

guia de ejercitación

2

Respecto a una distribución de datos de una variable estadística cuantitativa, ¿qué es posible afirmar en relación con los datos que están bajo el decil 6? ¿Y acerca de los que están sobre él?

3

La tabla adjunta presenta las calificaciones que obtuvieron los estudiantes de todos los terceros medios de un liceo en la prueba de nivel de Biología, las que están aproximadas por redondeo a la unidad. Calificación

Frecuencia

1

20

2

30

3

35

4

60

5

120

6

180

7

55

Junto a su profesor, planifiquen un procedimiento y determinen los cuartiles de estos datos.

3

MATEMÁTICA - programa 3º medio

4

Un diagrama de cajas sirve para representar de manera gráfica los cuartiles de una distribución de datos. ¿A qué corresponde cada uno de los segmentos verticales del diagrama de cajas adjunto?

La diferencia entre ____ y ____ se conoce como rango intercuartil.

_____________

_______________ _____________

4

_____________

_______________

5

Completa el diagrama de cajas con los datos de la tabla de la pregunta 3.

6

La tabla adjunta es una adaptación de la presentada en la pregunta 3, en la que la calificación está agrupada en intervalos. ¿Se puede determinar con exactitud cuál es el valor del segundo quintil? Si no es así, ¿qué es lo que se puede afirmar acerca del segundo quintil? Calificación

Frecuencia

[1, 2[

25

[2, 3[

30

[3, 4[

40

[4, 5[

50

[5, 6[

120

[6, 7]

235

guia de ejercitación

sección 2: Medidas de dispersión Las medidas de dispersión a trabajar sirven para medir la variabilidad de los datos de una variable estadística cuantitativa, es decir, son útiles para determinar la homogeneidad de la muestra. Algunas herramientas estadísticas para medir la dispersión de una muestra son el rango, la desviación estándar y la varianza. Estas son la base para estudios estadísticos más avanzados, como los que verás el próximo año al momento de estudiar la distribución normal tipificada.

1

Una muestra de n datos está compuesta por el conjunto {x1, x2, x3,…, xn}, cuya media aritmética es x. Con base en esta información, determinen junto a su profesor las expresiones para determinar el rango, la desviación estándar y la varianza de dicha muestra.

2

¿Cuál es el rango, la desviación estándar y la varianza del conjunto {2, 4, 6}?

5

MATEMÁTICA - programa 3º medio

3

En una sala del preuniversitario hay 30 estudiantes, a los cuales se les pide que escriban su edad en una ficha y que, posteriormente, la peguen en su pecho, ya que esta será considerada como la variable estadística en estudio. El profesor es quien guía esta actividad y observa que todos los alumnos tienen el número 16 en su respectiva ficha. Discutan acerca de cómo los siguientes hechos afectan a la media, al rango y a la desviación estándar de la variable estadística indicando si estos valores aumentan, se mantiene o disminuyen respecto a las condiciones iniciales del estudio. “Uno de los estudiantes tiene que salir de la sala debido a una urgencia”

“Un alumno que llega tarde entra a la sala. Al colocarse la ficha, esta tiene el número 16”

“El director de la sede ingresa a la sala. Al colocarse la ficha, esta tiene el número 48”

“Un eatudiante de otro curso ingresa a la sala. Al colocarse la ficha, esta tiene el número 13”

6

guia de ejercitación

4

¿Existe alguna forma en que la desviación estándar disminuya en la muestra?

5

Considerando la desviación estándar calculada para el conjunto {2, 4, 6}, ¿cuál es la desviación estándar del conjunto {7, 9, 11}? ¿Qué se puede concluir a partir de esta situación?

6

Considerando la desviación estándar calculada para el conjunto {2, 4, 6}, ¿cuál es la desviación estándar del conjunto {6, 12, 18}? ¿Qué se puede concluir a partir de esta situación?

7

MATEMÁTICA - programa 3º medio

sección 3: preguntas de modelamiento

Tiempo estimado 20 minutos

a continuación se presentan cinco preguntas tipo psu, las que serán desarrolladas conjuntamente por ustedes y su profesor. si tienes cualquier duda acerca de estos contenidos, consulta a tu profesor, ¡ahora es el momento!

1

Según la tabla de distribución de frecuencias adjunta, ¿en cuál intervalo se ubica el decil 6 de los datos?

A) [40, 45[ B) [45, 50[ C) [50, 55[ D) [55, 60[ E) [60, 65[

2

Datos

Frecuencia

[40, 45[

15

[45, 50[

60

[50, 55[

10

[55, 60[

20

[60, 65[

25

[65, 70]

30

En un curso se consultó a los estudiantes sobre la cantidad de videojuegos distintos que han jugado durante 2017, resumiendo los datos obtenidos en el gráfico de la figura adjunta, donde los intervalos son de la forma [a, b[ y el último es de la forma [c, d]. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)

El cuartil 1 y el quintil 1se ubican en mismo intervalo El percentil 60 se ubica en el mismo intervalo que la mediana. El decil 8 se ubica en el intervalo [6, 8[

Frecuencia 10 8



A) B) C) D) E)

Solo I Solo III Solo I y II Solo I y III Solo II y III

7 6 4 0

3

2

4

6

8 10

Cantidad de videojuegos

Una muestra agrupa los datos {15, 22, 17, 15, 15, 19, 18, 19, 17, 15, 14, 18, 22, 23, 19, 17}, los que se representan en un diagrama de caja como se muestra en la figura adjunta. El valor de x es A) 22 B) 19 C) 18 D) 17 E) 15 x

8

guia de ejercitación

4

Los datos de una población estadística son: 4, 4, 7. El rango y la desviación estándar de la población, respectivamente, son A) B) C) D) E)

5

3 y �2 3 y 0 1,5 y �2 3 y 1,5 1,5 y 0

La tabla adjunta muestra el resultado obtenido por los alumnos de dos cursos de un preuniversitario en un ensayo de Matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? Curso

Media aritmética

Desviación estándar

A

558

60

B

542

100



I) II) III)

Los resultados del curso A son más homogéneos que los del curso B. El curso B presenta menor dispersión en los puntajes. La media aritmética, considerando los puntajes de los alumnos de ambos cursos, es 550.



A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo III Solo I y III Ninguna de ellas.



9

MATEMÁTICA - programa 3º medio

Tiempo estimado

sección 4: preguntas elementales

minutos

Es momento de poner a prueba tus conocimientos y habilidades sobre estos contenidos. A continuación debes contestar cinco ejercicios de dificultad fácil, los que son útiles para medir qué tanto has entendido y aprendido durante esta sesión.



En el gráfico de la figura adjunta se registraron los puntajes de un ensayo PSU obtenido por todos los estudiantes de cuarto medio de cierto liceo, donde los intervalos son de la forma [a, b[ y el último es de la forma [c, d]. ¿En qué intervalo se encuentra el decil 7? A) B) C) D) E)

[625, 700[ [700, 775[ [475, 550[ [550, 625[ [775, 850]

Número de estudiantes

6

37 28

15 9 7 4 400 475 550 625 700 775 850 Puntajes

7

10

La tabla adjunta muestra la distancia, en kilómetros, que deben recorrer los trabajadores de una empresa para llegar a su lugar de trabajo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) B) C) D) E)

El decil 8 se encuentra en el intervalo [4, 6[. El percentil 15 se encuentra en el intervalo [8, 10[. El quintil 1 se encuentra en el intervalo [0, 2[. El cuartil 3 se encuentra en el intervalo [8, 10[. El cuartil 2 se encuentra en el intervalo [4, 6[.

Distancia (km)

Frecuencia

[0, 2[

3

[2, 4[

2

[4, 6[

4

[6, 8[

4

[8, 10[

6

[10, 12]

5

guia de ejercitación

8

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?



I) II)



III)



A) B) C) D) E)

9

Mientras más pequeña sea la desviación estándar de una muestra, esta es más homogénea. Si todos los datos de una muestra tienen el mismo valor, entonces el rango, la desviación estándar y la varianza son iguales a cero. Si el rango de una muestra es distinto de cero, entonces la desviación estándar de dicha muestra también es distinta de cero. Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III

¿Cuál es la varianza del conjunto {5, 6, 8}?

3 2 14 B) 9 5 C) 3 A)



D)

3

19 E) 3

10

En el diagrama de caja de la figura adjunta, se puede determinar el valor de a, si:



(1) (2)

El rango intercuartil de la muestra es 11. El percentil 75 de la muestra es 19.



A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

a

b

11

MATEMÁTICA - programa 3º medio

sección 5: preguntas intermedias

Tiempo estimado minutos

Es tiempo de enfrentarse a cinco ejercicios de dificultad media, los que están presentes en mayor medida en la PSU. ¡Anímate a resolverlos!

11

En la figura adjunta se muestra el diagrama de caja de un conjunto de datos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es posible afirmar?

A) El mayor valor de la muestra es 17. B) El rango intercuartil de la muestra es 6. C) k es igual a 12. D) El cuartil 1 es 9. E) El percentil 75 es 15.

17 15

k

9 5

12

12

En una muestra de datos cuantitativos discretos ordenados de menor a mayor, es siempre verdadero afirmar que el percentil m corresponde al valor A) B) C) D) E)

sobre el cual se encuentra no más del m% de los datos. en la posición m. bajo el cual se encuentran no más de m datos. bajo el cual se encuentra no más del m% de los datos. sobre el cual se encuentran no más de m datos.

guia de ejercitación

13



En la tabla adjunta se muestran las calificaciones que obtuvieron los estudiantes de un curso en un examen de Física, en la que x es un número entre 1 y 10. Con base en esta calificación, el profesor que dicta esta asignatura decide que todos los estudiantes que estén bajo el percentil 50 deberán repetir el examen. En relación con esta información, es correcto afirmar que I) II) III)

como mínimo, 12 estudiantes deberán repetir el examen. como máximo, 12 estudiantes no deberán repetir el examen. ningún estudiante en el cuarto intervalo deberá repetir el examen.



Es (son) siempre verdadera(s)



A) B) C) D) E)

14

Calificación

Frecuencia

[1, 2[

7

[2, 3[

3

[3, 4[

2

[4, 5[

x

[5, 6[

10

[6, 7]

2

solo I. solo II. solo I y II. solo I y III. solo II y III.

Sea el conjunto {s, t, u}, formado por números enteros positivos distintos entre sí, cuya desviación estándar es m. ¿Cuál es la desviación estándar del conjunto {(2s + 1), (2t + 1), (2u + 1)}?

A) 2m + 1 B) m C) 2m D) m+1 E) �2 m

15

Una muestra está formada por números enteros positivos consecutivos, sin que se repita ninguno de ellos. Se puede determinar el rango de la muestra, si:



(1) (2)

La media aritmética de los datos de la muestra es 25. La muestra está compuesta por nueve datos.



A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

13

MATEMÁTICA - programa 3º medio

sección 6: preguntas avanzadas

Tiempo estimado minutos

Finalmente, te presentamos cinco ejercicios de dificultad alta, los que requieren que pongas a prueba todas tus capacidades y, en algunas ocasiones, otros contenidos que no son propios de la sesión pero que son claves al momento de la resolución. ¡Mucha concentración y a resolver!

16

En la figura adjunta se muestra un diagrama de caja que representa las notas de los alumnos de un curso en las pruebas de Lenguaje y Matemática. Si el alumno aprueba con nota 4,0, se puede inferir que I) II) III)

en la prueba de Matemática hubo más alumnos reprobados que en la prueba de Lenguaje. al menos un 75% del curso aprobó en la prueba de Matemática. la nota más alta del curso se obtuvo en la prueba de Lenguaje. 6,8 6,5 Es (son) verdadera(s) 5,9



A) B) C) D) E)

solo III. solo I y II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.

5,5 5,2 4,6 4,1 3,3 2,8 Matemática Lenguaje

17

En la figura adjunta se muestra un gráfico de distribución porcentual de una variable estadística X, donde los intervalos son de la forma [a, b[ y el último es de la forma [c, d]. El cuartil 3 de los datos se ubica en el intervalo A) B) C) D) E)

[1, 2[ [2, 3[ [3, 4[ [4, 5[ [5, 6]

Porcentaje (%) a 18 10 1

14

2

3

4

5

6

X

guia de ejercitación

18

Se considera la muestra {a, b, c, d} y la muestra {a, c, d}, con a, b, c y d números reales positivos distintos entre sí. Si las muestras están ordenadas de forma creciente y la media aritmética de la primera muestra es b, entonces ambas muestras siempre tienen igual

I) mediana. II) media aritmética. III) rango.

Es (son) verdadera(s)



A) B) C) D) E)

19

solo II. solo III. solo II y III. I, II y III. ninguna de ellas.

Sea M un conjunto compuesto por los números enteros positivos a y b. Para formar el conjunto N, a cada dato del conjunto M se le resta una cantidad entera positiva x, con x menor que a y b. Entonces, es correcto afirmar que la media aritmética de los datos de M y N son iguales. la desviación estándar de los datos de M y N son iguales. el rango de los datos de M y N no varía.



I) II) III)



Es (son) verdadera(s)



A) B) C) D) E)

20

solo II. solo III. solo I y II. solo II y III. I, II y III.

Se puede determinar la varianza de una población compuesta por n datos discretos, con n un valor entero conocido, si se conoce:



(1) (2)

La diferencia entre cada uno de los n datos y la media poblacional. La suma entre cada uno de los n datos y la media poblacional.



A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

15

MATEMÁTICA - programa 3º medio

Compruebo lo aprendido A continuación encontrarás una lista con los conocimientos y habilidades que se han medido con la ejercitación de esta sesión, indicando las preguntas que tienen relación con dicho punto. Marca aquellos aspectos en los que hayas logrado progresar y refuerza en casa los que aún no has podido desarrollar. Determino cuantiles en tablas y gráficos y realizo conjeturas con base en los resultados obtenidos (preguntas 1, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 16, 17). Determino medidas de dispersión (rango, desviación estándar y varianza) y realizo conjeturas acerca de la variabilidad de los datos con base en los resultados obtenidos (preguntas 4, 5, 8, 9, 14, 15, 18, 19, 20).

16

guia de ejercitación

tabla de corrección

Ítem

Alternativa

Habilidad

Dificultad estimada

1

Aplicación

Fácil

2

Aplicación

Media

3

Aplicación

Media

4

Aplicación

Media

5

ASE

Difícil

6

Aplicación

Fácil

7

Aplicación

Fácil

8

Comprensión

Fácil

9

Aplicación

Fácil

10

ASE

Fácil

11

Comprensión

Media

12

Comprensión

Media

13

ASE

Media

14

Comprensión

Media

15

ASE

Media

16

ASE

Difícil

17

ASE

Difícil

18

ASE

Difícil

19

ASE

Difícil

20

ASE

Difícil

17

MATEMÁTICA - programa 3º medio

Mis apuntes

18

guia de ejercitación

Mis apuntes

19

_____________________________________________________ Han colaborado en esta edición: Directora Académica Paulina Núñez Lagos Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Coordinadora PSU Francisca Carrasco Fuenzalida Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Marcelo Gajardo Vargas Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Daniel Henríquez Fuentes Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.

Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.