Manipulación Albegraica(Matemática 2° Medio A y B - LBNDSM)

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Unidad 2: I.

MANIPULACIÓN ALGEBRÁICA

Lenguaje Algebraico y sustitución de variables.

Investigar: 

¿Por qué las fórmulas que usted conoce son escritas con variables (letras)?



Cada variable puede ser asociada a un concepto cuantificable y/o a un parámetro de magnitud física.



Detalle las diferencias entre lo que se denomina una constante y una variable.



Señale las partes que compone un término algebraico.



Porqué son muy importante seguir las reglas de la operatoria de las potencias en álgebra.

1. Escribe la expresión algebraica que corresponda: a) El doble de un número, aumentado en la mitad del mismo número. b) El doble de 𝑎, aumentado en 𝑏. c) El doble de 𝑎 aumentado en 𝑏. d) El cuadrado de la cuarta parte del triple de 𝑥. e) El quíntuple del cubo de 𝑦. f)

La diferencia entre el cuádruple de 𝑥 y la tercera parte de 𝑦.

g) La suma de tres números consecutivos. h) La mitad de la diferencia positiva entre dos números pares consecutivos. i)

El producto entre un número y su sucesor.

j)

El cubo del cuadrado de la diferencia entre 𝑥 e 𝑦.

k) La cuarta parte del producto entre el cuadrado de 𝑎 y el cubo de 𝑏. l)

La suma de los cuadrados de tres números consecutivos.

2. Escriba en palabras cada expresión algebraica: a) 3𝑎 − 5𝑏 + 1 b)

𝑎2 3

+ 2𝑏

c) (𝑎 − 𝑏)2 d) (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) e) 𝑎2 + 3𝑏 2 + 5𝑐 2 f)

𝑎+2𝑏+3𝑐 5

g) 2𝑎(2𝑎 + 2)(2𝑎 + 4) 3 𝑎 2 −𝑏+1 ) 2

h) (

3. Sustituya 𝑎 = 3 y 𝑏 = 2 para luego encontrar el final de la expresión algebraica: i)

5𝑎 + 3𝑏

j)

𝑎2 − 𝑏 2

k) 𝑎 − l)

𝑏3

m) 𝑎3 − 2𝑏 2 + 𝑎𝑏 n)

1 3

√ 𝑏3 + 𝑎

−6

4

(𝑎2 −1)(𝑏2 +1)

𝑎2 + 𝑏 2 − 3𝑎 − 4𝑏

4. Reemplace 𝑚 = −2 y 𝑛 = 3, luego determine el valor de: a) 2𝑚 − 3𝑛 b) 𝑚 − 𝑚2 − 2𝑛 c) 𝑚2 + 2𝑚𝑛 + 𝑛2 d)

1 𝑚

1

−𝑛

1

e)

− 𝑚𝑛

f)

(2 𝑚 + 2) (−1 + 𝑛)

g)

4𝑚 ∙ 2−𝑛

1

9

5. Si 𝑥 = 5𝑢 + 1 y además 𝑦 = 3 + 𝑣, reemplace y reduzca la nueva expresión resultante: a) 2𝑥 − 9𝑦 − 1 b)

2𝑥 5

c) −𝑥 + 2𝑦 + 5𝑥 − 𝑦

1

5

4

−4𝑥 − 2𝑦 + 2 + 3𝑦

e)

2 (− 9 𝑥 + 5 𝑦) − 5 (3 𝑦 + 3𝑥)

9

− 10 𝑦

3

d)

4

2

6 8

6. Del ejercicio anterior, sustituya Si 𝑢 = 3 − 𝑝 y además 𝑣 = −2𝑞 y obtenga una nueva expresión. 7. Finalmente, sustituya

1

𝑝 = − 3 y 𝑞 = 5. Luego determine los valores finales.

II.

Reducción y simplificación.

Investigue: 

Una expresión algebraica v/s la misma pero reducida ¿son lo mismo? ¿cómo lo demostraría?



Conceptos de términos semejantes.



Cuáles son las principales técnicas de reducir o simplificar expresiones algebraicas.



Determine en qué casos no es posible reducir.



En concreto ¿Qué ventajas se obtiene al aplicar reducción?

8. Reducir las siguientes expresiones algebraicas: a) 𝑥 + 2𝑥 b) −8𝑚 − 𝑚 c)

3

d)

− 6 𝑎2 𝑏 − 8 𝑎2 𝑏

5

1

𝑎𝑏 + 10 𝑎𝑏 5

1

e) 𝑎 𝑥 + 3𝑎 𝑥 + 8𝑎 𝑥 f)

−𝑚2 𝑛 + 6 𝑚2 𝑛

g) −𝑥 + 19𝑥 − 18𝑥 h)

2

i)

𝑎 + 𝑏 − 𝑐 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑐 − 𝑎

j)

5𝑥 − 11𝑦 − 9 + 20𝑥 − 1 − 𝑦

3

1

𝑦 + 3𝑦 −𝑦

k) −6𝑚 + 8𝑛 + 5 − 𝑚 − 𝑛 − 6𝑚 − 11 l)

−𝑎 + 𝑏 + 2𝑏 − 2𝑐 + 3𝑎 + 2𝑐 − 3𝑏

m) −81𝑥 + 19𝑦 − 30𝑧 + 6𝑦 + 80𝑥 + 𝑥 − 25𝑦 n) 15𝑎2 − 6𝑎𝑏 − 8𝑎2 + 20 − 5𝑎𝑏 − 31 + 𝑎2 − 𝑎𝑏 o) −3𝑎 + 4𝑏 − 6𝑎 + 81𝑏 − 114𝑏 + 31𝑎 − 𝑎 − 𝑏 p) −71𝑎3 𝑏 − 84𝑎4 𝑏 2 + 50𝑎3 𝑏 + 84𝑎4 𝑏 2 − 45𝑎3 𝑏 + 18𝑎3 𝑏 q) −𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 8 + 2𝑎 + 2𝑏 − 19 − 2𝑐 − 3𝑎 − 3 − 3𝑏 + 3𝑐 r)

𝑢2 + 𝑢𝑣 + 𝑣 2 − 2𝑢2 + 3𝑢𝑣 − 𝑣 2

s)

1

t)

3

1

3

1

3

1

𝑎 + 3 𝑏 + 2𝑎 − 3𝑏 − 4 𝑎 − 6 𝑏 + 4 − 2 2 2

1

1

𝑚2 − 2𝑚𝑛 + 10 𝑚2 − 3 𝑚𝑛 + 2𝑚𝑛 − 2𝑚2

9. Reducir las siguientes expresiones algebraicas con paréntesis: a) 2𝑎 − (2𝑎 − 3𝑏) − 𝑏 b) 2𝑚 − 3𝑛 − (−2𝑚 + 𝑛 − (𝑚 − 𝑛)) c) [−(𝑥 2 − 𝑦 2 ) + 2𝑥 2 − 3𝑦 2 − (𝑥 2 − 2𝑥 2 − 3𝑦 2 )] d) −(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) − (−𝑎 − 𝑏 + 𝑐) + (𝑎 − 𝑏 + 𝑐) e) 3𝑦 − 2𝑧 − 3𝑥 − {𝑥 − [𝑦 − (𝑧 − 𝑥)] − 2𝑥} f)

3𝑥 + 2𝑦 − (2𝑥 − (3𝑥 − (2𝑦 − 3𝑥) − 2𝑥) − 𝑦)

g)

1

h)

1

2 5

2

3

4

3

4

3

𝑎 − 𝑏 − ( 𝑎 − 𝑏) 1

2

2

3

𝑎 − [ 𝑎 − ( − 1) 𝑎]

10. Reducir las siguientes expresiones algebraicas, realizando las multiplicaciones: a) 3𝑥 2 𝑦 ∙ 𝑥 3 𝑦 6 ∙ −𝑦

l)

b) 2𝑝𝑟 ∙ 3𝑝𝑟 3 ∙ 𝑝𝑟 2 ∙ 7𝑝3 𝑟 4

m) (2𝑥 − 6𝑦)(𝑥 2 − 2𝑥𝑦)

c) 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑛+1

n)

d) −4𝑎𝑏𝑐 ∙ −3𝑎2 𝑏 2 ∙ 12𝑎𝑏 5 𝑐 7

o)

(𝑢 − 𝑣)(𝑢 − 3𝑢𝑣 + 𝑣 2 )

e) 𝑝2𝑥 ∙ 𝑝3𝑥−2 ∙ 𝑝 𝑥+9

p)

(𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )

f)

q)

𝑥 − (3𝑎 + 2(−𝑥 + 1))

r)

−(𝑎 + 𝑏) − 3(2𝑎 + 𝑏(−𝑎 + 2))

s)

−(3𝑥 − 2𝑦 + (𝑥 − 2𝑦) − 2(𝑥 + 𝑦) − 3(2𝑥 + 1))

0,03𝑎5 𝑏 4 ∙ 1,3𝑎4 𝑏 8 ∙ 2,7𝑎𝑏 6

g) (𝑎𝑏)3 ∙ 𝑎4 ∙ 𝑏 2 1

1

2

3

h) 𝑎 ( 𝑎 + ) + 5𝑎 2

8

2

2 3

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 + 𝑦 2 )

3 5

2

𝑥 6 𝑦 2 𝑧 4 (1 − 𝑥𝑦𝑧 4 + 𝑥 4 𝑦 2 𝑧 6 ) 3

2

i)

− 𝑎 𝑏 ∙

𝑎𝑏 𝑐 ∙ − 𝑎 𝑏 𝑐

t)

4(𝑥 + 3) + 5(𝑥 + 2)

j)

3𝑥 2 (3𝑥 6 − 2𝑥 4 + 𝑥 3 − 2𝑥 + 3)

u)

𝑥(𝑥 + 𝑎) + 3𝑥(𝑎 + 1) − (𝑥 + 1)(𝑎 + 2𝑥) − (𝑎 − 𝑥)2

v)

(𝑝2 − 𝑞 2 )(𝑝𝑛 − 𝑝𝑛 𝑞 𝑛 − 𝑞 𝑛 )

6 4

9

5

2 3

2 5 11

4

1

1

3

3

2

5

k) − 𝑎2 ( 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 2 )

11. Divide y exprese el resultado de la manera más simple posible. a) b) c)

−18𝑥 2 6𝑥 (2𝑐 2 𝑑3 )

2

8𝑏 2 𝑐 4 18𝑥 − 12𝑦 −6

d)

8 (2𝑘−1)8 32 (2𝑘−1)2

e)

(𝑥 2 𝑦 + 4𝑥 3 ) ÷ 𝑥

f)

(2𝑧 4 − 3𝑧 2 ) ÷ 𝑧 2

g)

27𝑥 3 𝑦 4 − 15𝑥 5 𝑦 2 + 3𝑥 6 𝑦 3𝑥 3 𝑦

12. Desarrolla y luego reduce las siguientes expresiones: a) (𝑎 − 6)2

i)

(2𝑥 − 3𝑥𝑦)(2𝑥 + 3𝑥𝑦)

b) (6𝑥 − 5𝑦)2

j)

(9𝑚2 − 3𝑛)(9𝑚2 + 3𝑛)

c) (9𝑥 2 − 7𝑦 2 )2

k) (𝑎 + 5𝑥)(𝑎 − 5𝑥)

d) (𝑥 + 1)2

l)

e) (4𝑝𝑞 − 3𝑞)2

m) (𝑝 − 𝑞)3

f)

n) (2𝑥 + 3𝑦)3

(2𝑎 − 3𝑏)2 + (3𝑎 − 5𝑏)2 3

3

4

5

g) ( 𝑎2 𝑏 3 − 𝑎𝑏 6 ) h) (𝑢 − 𝑣)(𝑢 + 𝑣)

2

(𝑎 + 𝑏)3

o) (3𝑎 − 2𝑥)3 p) (𝑎 + 𝑐)2 − (𝑎 − 𝑐)2

III.

Factorización.

Investigue: 

Una expresión algebraica v/s la misma pero factorizada ¿son lo mismo?



Cuáles son las principales técnicas de factorización de expresiones algebraicas.



¿Qué son los Productos Notables?



En concreto ¿Qué ventajas se obtiene al aplicar la factorización?

13. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas: a) 24 + 16𝑎

l)

b) −15𝑝𝑞 − 12𝑝𝑟

m) 𝑥 2 − 𝑦 2

c) 4𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦 2

n) 100𝑎2 − 64𝑏 6

d) 4𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 + 6𝑥𝑦 2

o) 144𝑏10 − 121𝑐 6

e) 3𝑎𝑏 − 6𝑎𝑏𝑐 + 9𝑎𝑐 2

p) 𝑥 2 + 14𝑥 + 49

f)

3 2

1

5

2

2

𝑥𝑦 − 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2

2𝑎𝑢 + 2𝑎𝑣 − 3𝑏𝑢 − 3𝑏𝑣

q) 9𝑥 2 − 6𝑥 + 1

g) 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑎𝑑

r)

h) 10𝑞 5 − 30𝑝𝑞 5 − 15𝑝𝑞 6

s) 𝑦 2 − 5𝑦 + 6

i)

𝑥 2 − 𝑥 2𝑦2 − 𝑥 2𝑦3 + 𝑥 2𝑦4

t)

j)

24𝑎2 𝑥𝑦 2 − 36𝑥 2 𝑦 4

u) 𝑥 2 + 𝑥 − 6

k) 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑

𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1

𝑎2 + 𝑎 − 30

v) 𝑥 3 + 𝑝3

14. Factoriza en uno o más paréntesis: a) 𝑎𝑏 + 𝑎 + 𝑐𝑏 + 𝑐

f)

b) 2𝑎 − 2𝑏 + 𝑐𝑎 − 𝑐𝑏

g) 𝑎𝑏 2 + 𝑎𝑛 − 𝑐𝑏 2 − 𝑐𝑛

c) 𝑎𝑥 − 𝑎 + 𝑏𝑥 − 𝑏

h) 6𝑥 2 − 4𝑎𝑥 − 9𝑏𝑥 + 6𝑎𝑏

d) 𝑎𝑥 + 𝑎 + 𝑥 + 1

i)

e) 𝑏𝑥 − 𝑎𝑏 + 𝑥 2 − 𝑎𝑥

3𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 3𝑏𝑥 + 𝑏𝑦

𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 + 𝑦 3

15. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas usando Productos Notables: a) 𝑥 2 − 9

m) 𝑥 2 − 2𝑥 − 8

b) 16 − 𝑥 4

n) 𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 12𝑦 2

c) 𝑥 2𝑛 − 𝑦 2𝑛

o) 16 − 10𝑥 + 𝑥 2

d) 32𝑎4 𝑏 − 162𝑏 5

p) 𝑦 4 + 7𝑦 2 + 12

e) (𝑎 − 𝑏)2 − 𝑐 2

q) (𝑥 + 1)2 + 3(𝑥 + 1) + 2

f)

r)

(5𝑥 + 2𝑦)2 − (3𝑥 − 7𝑦)2

2𝑥 6 𝑦 − 6𝑥 4 𝑦 3 − 8𝑥 2 𝑦 5

g) 𝑥 2 + 8𝑥 + 16

s) 3𝑥 2 + 10𝑥 + 3

h) 1 + 4𝑦 + 4𝑦 2

t)

i)

16𝑎4 − 72𝑎2 𝑏 2 + 81𝑏 4

u) 𝑎2𝑚 + 2𝑎2𝑚+1 + 𝑎2𝑚+2

j)

(𝑥 + 2𝑦)2 + 10(𝑥 + 2𝑦) + 25

v) 8 + 𝑥 3

2𝑥 2 − 7𝑥 + 3

k) 4𝑚6 𝑛6 + 32𝑚4 𝑛4 + 64𝑚2 𝑛2

w) 8𝑦 3 − 27𝑥 3

l)

x) 𝑎6 + 𝑏 6

𝑥 2 − 6𝑥 + 8

16. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

𝑎𝑥 2 𝑎2 𝑥 5 2𝑚2 𝑛𝑝 18𝑚𝑛2 𝑝 −125𝑥 6 𝑦 5 𝑧 4 5𝑥𝑦𝑧 2𝑝𝑞 𝑝2 𝑞−𝑝𝑞 2 2𝑥 2 −𝑥−15

m) n) o) p) q)

𝑥−3 3𝑎𝑏𝑐 6𝑎2 𝑏𝑐−9𝑎𝑏 2 𝑐 𝑥 2 −3𝑥+2 𝑥 2 −5𝑥+6 𝑚2 −6𝑚+9 𝑚2 −9𝑚+18 𝑎2 −25 𝑎2 −4𝑎−45 𝑥 2 +5𝑥 𝑥(𝑥+5)2 4−𝑥 2

r) s) t) u) v) w)

𝑥−2 𝑥 2 (𝑥−1) 𝑥(𝑥+1)(𝑥−1)

x)

3𝑎3 −3𝑎2 −6𝑎 2𝑎3 +6𝑎2 +4𝑎 𝑥 8 −9𝑦 4 𝑥 4 −3𝑦 2 𝑎𝑐−𝑎𝑑−𝑏𝑐+𝑏𝑑 𝑐 2 −𝑑2 𝑥 2 +10𝑥−11 𝑥 2 +9𝑥−10 𝑎



2𝑏

𝑎𝑏 𝑏

2𝑚 3𝑚𝑛 3𝑛



4

9𝑥 2 −1 𝑥2 2𝑎3

∙ 𝑎−1

2𝑥

∙ 3𝑥−1

𝑎2 −1 𝑎2

𝑥 2 −6𝑥+5 𝑥 2 −4

∙ 𝑥 2 −1

𝑥+2 2𝑎+4

𝑎+4

∙ ∙ 3𝑎−12 𝑎2 −16 𝑎+𝑏 𝑎2 −𝑏2



𝑎𝑏 𝑎+𝑏

𝑎3 +2𝑎2 +𝑎 𝑎2 +7𝑎+10





𝑎2 −8𝑎+16 𝑎+2

𝑎2 −2𝑎𝑏+𝑏2 3𝑎𝑏

𝑎2 −25 𝑎+1

1

∙ 2𝑎2

17. Racionalice las siguientes expresiones: a) b) c) d) e)

f)

7

𝑎−𝑏 g) 7 √𝑎3 𝑏2

√5𝑥



2 3√𝑥

𝑎√𝑏 𝑏 √𝑎 2𝑥−3 √6−4𝑥 5𝑎 √3−√2𝑎 4−𝑥 2 3

2 √(𝑥−1)2

h) i) j) k) l)

1−𝑥 √2𝑥+3 −√5 11−2𝑥 3−2√𝑥+1 𝑥 2 −16𝑦 𝑥+4√𝑦 1 𝑎 √𝑎−𝑏√𝑏 𝑥+𝑦 3

3

√𝑥 + √𝑦

IV.

Aprendizaje basado en problemas. 18. Representa el área del rectángulo mayor como el producto de dos polinomios. Calcula y expresa de la manera más simple dicho producto: 2𝑥

5

5 𝑥

19. Determine el área del rectángulo en términos de x: 2𝑥 3 − 3𝑥 + 4

5𝑥 2 − 10𝑥

20. Obtenga el volumen del siguiente paralelepípedo:

2𝑎 − 3 5 − 𝑎2 𝑎+1 21. Encuentre una forma de expresar el volumen de una esfera inscrita en un cilindro, si el área de la “tapa” del cilindro se expresa en T.

22. Para el cuerpo geométrico mostrado, determine volumen y superficie: 1 𝑦 4 1 𝑦 3

1 𝑦 2

1 𝑦 2

3𝑦 2𝑦

23. Se desea cercar un terreno rectangular que tiene Z metros cuadrados. La cerca debe tener 3 líneas de alambre de púas. Se sabe que uno de los lados debe tener longitud Q. Luego: a) ¿Cuantos metros de alambre de púas se necesita para cubrir los 4 lados del terreno? b) Y si uno de los lados del terreno da hacia un río (no se necesita alambrar ese lado) ¿Cuánto alambre se necesita? (El lado Q esta frente al río) 24. Se almacena petróleo en un estanque cilíndrico de capacidad total de V litros. Si se sabe que el diámetro del mismo es de D metros y altura H metros y está lleno a un 75% de su capacidad, encuentre una expresión algebraica para determina para obtener cuantos litros aún quedan por llenar. 25. Se desea pintar un domo esférico. Si este domo corresponde a una semiesfera y se sabe que el área de la base del domo corresponde a X metros cuadrados, determine cuanta pintura se necesita para cubrir el domo. 26. Se tiene un poster de lados A y B (en centímetros). Adicionalmente se necesita dejar un margen libre que corresponda al 20% de la longitud de cada lado. ¿cuál será el área útil para dibujar en el poster? 27. Una bodega de dimensiones P, Q, R (largo, ancho, alto) ha sido construida y ahora se necesita: a) 2 capas de pintura por fuera y una capa por dentro. ¿Cuánta pintura en total se necesita? b) Si se instala un portón ocupa 3⁄4 de la superficie de superficie de la cara frontal de la bodega y 3 ventanas de dimensiones 1x2 metros en las paredes al costado del portón. ¿Cuánta pintura menos se requiere? 28. Se tiene un neumático de radio menor r, radio mayor R y ancho A (en centímetros). ¿Qué volumen de aire puede introducirse? 29. Se desea construir una caja a partir de una plancha cuadrada de lado L metros. En cada esquina de la plancha se recorta cuadrados iguales de lado X metros. Luego plegamos cada lado restante de forma que se forme una caja abierta por el lado superior. De la caja obtenida determine: a) ¿Cuánto de longitud en X es posible recortar? b) El volumen. c) Suma de las aristas.

Solucionarios 1.

3x 2

x

(2x+2)−2x

a) 2x + b) 2ª + b c) 2(ª + b) d) ( ) e) 5y 3 f) 4x − 3y g) Una posible solución: x + (x + 1) + (x + 2) h) i) x ∙ (x + 1) j) ((x − y)2 )3 k) 2 4 2 l) x 2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 2. a) El triple de un número restado con el quíntuple de otro, aumentado en uno. b) Un tercio del cuadrado de un valor aumentado con el doble de otro valor. c) El cuadrado de la diferencia de dos números. d) El producto de la suma de dos valores contra la diferencia de los mismos. e) La suma del cuadrado de un valor con el triple del cuadrado de otro valor y el quíntuplo del cuadrado de otro valor. f) La quinta parte de la suma de un número con el doble de otro y el triple de otro. g) El producto de tres valores pares consecutivos. h) El cubo de la mitad, del cuadrado de un número restado con otro y aumentado en uno, 3. 40 a) 5 b) −5 c) −4 d) 25 e)

a2 ∙b3 4

3

4. 5 1 a) −13 b) −12 c) 1 d) − e) f) 2 g) 6

6

𝟏 𝟏𝟐𝟖

5. 9v 23 −𝟏𝟓𝐮 𝟓𝐯 𝟏𝟕 −𝟐𝟎𝟐𝐮 𝟏𝟐𝐯 𝟓𝟐𝟔 a) 10u − 9v − 24 b) 2u − − c) 20u + v + 7 d) + + e) − − 10

10

𝟒

𝟔

𝟒

𝟗

𝟓

𝟒𝟓

6. 9q 37 𝟏𝟓𝐩 𝟓𝐪 𝟐𝟎𝟐𝐩 𝟐𝟒𝐪 𝟑𝟓𝟓𝟔 a) 10p + 18q + 6 b) −2p + + c) −20p − 2q + 53 d) − − 7 e) + − 5

10

𝟒

7. 298 109 149 199 −8438 a) b) c) d) e) 3

10

3

8. a) 3x b) −9m c)

12

7 10

𝟑

𝟗

𝟓

𝟒𝟓

135

𝟐𝟑 2 a b 𝟐𝟒

a2 b d) −

e) 12ax f) 5 m2 n g) 0 h) 0 i) 0 j) 25x − 12y − 10 k) −13m + 7n − 6 l) 2a m) −30z n) 8a2 − 12ab − 11 7

17

4

6

o) 21a − 30b p) −48a3 b q) −2a − 14 r) – u2 + 4uv s) a −

b+

1 4

t)

27 10

1

m2 − mn 3

9. 1 1 19 a) 2b b) 5m − 5n c) 2x 2 + y 2 d) a − b + c e) – x + 4y − 3z f) 5x + y g) − a + b h) − a 4

3

30

10. 1 16 a) −3x 5 y 8 b) 42p6 r12 c) a2n+1 d) 144a4 b8 c10 e) p6x+7 f) 0,1053a10 y18 g) a9 b7 h) a3 + a2 i) 1 k) − a3 b 3

1 3 2 a b 5

3 3

2 12xy 2 n) x10 y 4 z10 5 3

3 7 3 8

3

4 9 11 14 a b c 15 6 2 4 3

j) 9x 8 − 6x 6 + 3x 5 − 6x 3 + 9x 2

+ l) x 3 + xy 2 + x 2 y + y 3 m) 2x 3 − 10x 2 y + − x y z + x y z o) u − 4u2 v + 4uv 2 − v 3 p) x 3 − y 3 5 5 q) 3x − 3a − 2 r) −7a − 7b − 7ab s) 4x + 6y + 3 t) 9x + 22 u) −𝟐x + 5ax + x − a − a2 v) pn+2 − pn+2 q − p2 qn − pn p2 + pn qn+2 + qn+2 11. a)−3x b)

d6

c) −3x + 2y d)

4b2

(2k−1)6 4

e) xy + 4x 2 f) 2z 2 − 3 g) 9y 3 − 5x 2 y + x 3

12. a) a2 − 12a + 36 b) 36x 2 − 60xy + 25y 3 c) 81x 4 − 126x 2 y 2 + 49x 4 d) x 2 + 2x + 1 e) 16p2 q2 − 24pq2 + 9q2 f) 13a2 − 42ab + 34b2 9 9 9 g) a4 b6 − a3 b9 + a2 b12 h) u2 + v 2 i) 𝟒x 2 − 9x 2 y 2 j) 𝟖𝟏m4 − 9n2 k) a2 − 25x 2 l) a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 m) p3 − 3p2 q + 3pq2 + q3 16 10 25 3 2 n) 8x + 36x y + 54xy 2 + y 3 o) −8x 3 + 36ax 2 − 54a2 x + a3 p) 2ac + 2c 2 13. 1 a) 8(3 + 2a) b) −3p(5q + 4r) c) 2xy(2 + y) d) 2xy(2x − 1 + 3y) e) 3a(b − 2bc + 3c 2 ) f) xy(3 − x + 5y) g)2a(b + c + d) h) 5q3 (2 − 6p − 3pq) 2 2 (1 2 3 4) 2 (2a2 2) i) x − y − y + y j) 12xy − 3xy k) (a + b)(c + d) l) (2a − 3b)(u + v) m) (x + y)(x − y) n) (10a + 8b3 )(10a − 8b3 ) o) (12b5 + 11c 3 ) (12b5 + 11c 3 ) p) (x + 7)3 q) (3x − 1)2 r) (x 2 + 1)2 s) (x − 2)(x − 3) t) (a − 5)(a + 6) u) (x − 2)(x + 3) v) (x + p)(x 2 − xp + p2 ) 14. a) (b + 1)(a + c) b) (a − b)(2 + c) c) (x − 1)(a + b) d) (x + 1)(a + 1) e) (x − a)(x + b) f) (3x − y)(a − b) g) (b2 + n)(a − c) h) (3x − 2a)(2 − 3b) i) (x + y)(x 2 + y 2 ) 15. a) (x − 3)(x + 3) b) (2 − x)(2 + x)(4 + x 2 ) c) (x n − y n )(x n + y n ) d) 2b(2a + 3b)(2a − 3b)(4a2 + 9b2 ) e) (a − b − c)(a − b + c) f) (2x + 9y)(8x − 5y) g) (x + 4)(x + 4) h) (1 + 2y)(1 + 2y) i) (2a − 3b)2 (2a + 3b)2 j) (x + 2y + 5)(x + 2y + 5) k) 4m2 n2 (m2 n2 + 4)𝟐 l) (x − 4)(x − 2) m) (x − 4)(x + 2) n) (x − 3y)(x + 4y) o) (2 − x)(8 − x) p) (y 2 + 4)(y 2 + 3) q) (x + 3)(x + 2) r) 2x 2 y (x − 2y) (x + 2y) (x 2 + y 2 ) s) (3x + 1)(x + 3) t) (x − 3)(2x − 1) u) a2m (1 + a)(1 + a) v) (2 + x)(4 − 2x + x 2 ) w) (2y − 3x)(4y 2 + 6xy + 9x 2 ) x) (a2 + b2 )(a4 − a2 b2 + b4 ) 16. a) u)

1

17. a)

m

b)

c) −25x 5 y 4 z 3 d)

ax3 9n x2 −7x+10

v)

x+1

7√5x 5x

b)

2 3

−2√x x

2

w) c)

a−b 3a+3b

√ab ab

d) −

2

x)

2

T3

3

π

21. V = √ 24. V =

3πD2 H 16

27. a) A = 3(2QR + 2PR + QP) b)

1

g)

2a−3b

x−1 x−3

h)

x−3 x−6

i)

a−5 a−9

j)

1

k) −(x + 2) l)

x+5

1 x+1

m)

3a−6 2a+4

o)

a−b c+d

p)

x+11 x+10

q)

a2

2b

r)

m2 2

s)

6x+2 x

t) 2x 2 + 2a

2a2 +4a

√6−4x

18. 2x + 15x + 25 4

e) (2x + 5) f)

p−q a2 −4a−5

e)

5a√3−√2a(3−√2a) 9−2a

f)

3

√x−1(4−x2 ) 2(x−1)

7

g) √a4 b 5 h) √2x + 3 + √5 i) 5

4

3

2

(3+2√x+1)(11−2x)

19. A = 10x − 20x − 15x + 50x − 40x 35 123 2 22. V = y 3 A = y 6

25. A =

6

X2 2π

28. V = Aπ(R2 − r 2 )

5−4x

j) x − 4√y k) 4

3

a√a−b√b a3 −b3

3

l) √x 2 + 3√xy + 3√y 2

2

20. V = −2a + a + 13a − 5a − 15 23. Z 2Z a) L = 6 (Q + ) b) L = 3 (Q + ) 26. A =

16 25

Q

Q

AB

29. L a) 0 < x < b) V = x(L − 2x)2 c) 4x + 8(L − 2x) 2
Manipulación Albegraica(Matemática 2° Medio A y B - LBNDSM)

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