Manual de Geo y Trig (Estudiantes)

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Manual de:

INDICE GENERAL

Geometría y Trigonometría



Del tratamiento del espacio, la forma y la medida, a los pensamientos geométricos y trigonométrico

Actividades para el estudiante

Nombre del alumno (a):

jmoguel

Geometría y Trigonometría Propósito de la Asignatura: Que el estudiante interprete y resuelve problemas contextualizados que requieran la orientación espacial, a través del análisis, representación y solución por medio de figuras y procedimientos geométricos y algebraicos. Dosificación de aprendizajes esperados

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2

Geometría y Trigonometría Competencias Genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Competencias Disciplinares: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variaciones, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemáticos y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. EVALUACIÓN Actitudinal

10%

Procedimental

40%

Conceptual

50%

Total

100%

CALENDARIO DE EXÁMENES: 1er. Parcial

2do. Parcial

3er. Parcial

BIBLIOGRAFÍA Carlos Oropeza Bonilla. (2016) Geometría y Trigonometría, DGETI Guzmán H., Abelardo. (2000). Matemáticas II, Geometría y Trigonometría. México, Publicaciones Culturales Cuéllar C., Juan A. (2009). Matemáticas 2, Geometría y Trigonometría. México: McGraw Hill Luque Luna Alberto, (2014) Elementos de Geometría Euclidiana. México, Noriega Aurelio A. Baldor. Geometría y Trigonometría. México, Publicaciones Culturales

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3

Geometría y Trigonometría

INDICE GENERAL I GEOMETRÍA Propósito de la asignatura

Introducción Criterios de evaluación 1er Parcial  Origen y métodos  Tarea 1  Conceptos básicos  Proposiciones  Tarea 2  Conceptos no definidos de la Geometría

2 6 7 9 9 10 11 12 13

 Recta  Nomenclatura y notación de rectas.  Rectas en el plano

14 14

 Ángulos  Definición, clasificación, notación y medida de ángulos  Sistema de medición  Conversiones  Tarea 3.  Pares de angulos  Tarea 4 reafirmación del aprendizaje  Angulos determinan dos rectas cortadas por una secante  Tarea 5.

16 17 18 19 20 23 26 29

 Triángulos  Definición, notación y clasificación  Rectas y puntos notables de un triángulo  Tarea 6.  Teorema para angulos interiores y externo  Retroalimentación del 1er Parcial  Congruencia de Triángulos  Tarea 7.  Semejanza de triángulos  Teorema de Thales  Tarea 8.  Tarea 9.  Teoremas de Pitágoras  Perímetro y Área del triángulo  Tarea 10.

31 32 34 35 36 40 42 43 44 45 47 51 53 54

 Polígonos  Definición, notación y clasificación  Diagonales y ángulos internos de un polígono  Tarea 11. jmoguel

58 59 63 4

Geometría y Trigonometría  Tarea 12 ( trabajo en equipo)  Perímetro y Área de polígonos  Tarea 13.

65 67 69

 Circunferencia y Círculo  Definición, notación  Perímetro y Área del círculo  Tarea 14.  Retroalimentación del 2do. Parcial

71 73 74 82

II TRIGONOMETRÍA  Concepto de trigonometría  Función trigonométrica de ángulos agudos  Calculo de los valores de las funciones trigonométricas dado el Valor de una de ellas  Tarea 15.  Determinación de las funciones trigonométricas para los angulos De 30º, 45º y 60º en el primer cuadrante  Tarea 16. Hallar el valor numérico de las funciones  Aplicación de las funciones trigonométricas en la Resolución de Triángulos rectángulos  Angulos de elevación y de depresión  Tarea 17. Ejercicios de triángulos rectángulos  Tarea 18. Ejercicios de aplicación de los triángulos rectángulos  Resolución de triángulos oblicuángulos  Ley de senos y cosenos  Tarea 19. Ejercicios de triángulos oblicuángulos  Tarea 20. Ejercicios de aplicación de los triángulos oblicuángulos  Identidades trigonométricas  Identidades fundamentales  Tarea 21. Demostración de identidades  Retroalimentación del 3er. Parcial  Fórmulas para perímetros y áreas de figuras planas y volumen Solido  Bibliografía

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83 83 84 85 87 88 90 91 92 95 99 102 105 107 107 111 114 116

5

Geometría y Trigonometría

Introducción El presente trabajo de Geometría y Trigonometría, tiene como intención fundamental auxiliar al docente en la difícil tarea de guiar al alumno del nivel medio superior en el estudio razonado y significativo de esta área, con mayor relevancia en el conocimiento científico, en donde el alumno podrá construir sus propios conocimientos bajo las siguientes consideraciones:  Sus conocimientos previos sobre el área de matemáticas formales y/o empíricos.  Situaciones o escenarios didácticos que motiven al estudiante, siendo retos que requieren de actividad intelectual y permite al estudiante alcanzar metas y soluciones posibles. Nuestro trabajo pretende a través de la resolución de problemas acercar aún más al binomio, enseñanza – aprendizaje, a la dinámica construccional en donde el alumno pueda apropiarse del conocimiento y aprender de manera significativa y trascendente. Por esta razón, este material es interactivo y constituye un canal de comunicación entre los actores del proceso de la enseñanza y el aprendizaje, para hacerlo adecuado, oportuno y dinámico, retroalimentado a los elementos que participan: docente, alumno, programa y evaluación para una mejor toma de decisiones y posibilitar una permanente validación de los mismos. Cabe señalar que la enseñanza contextual y de grupos operativos de las matemáticas, tiene como objetivos fundamentales ampliar y consolidar los conocimientos, habilidades y capacidades matemáticas para aplicarlas en el planteamiento y resolución de problemas cotidianos mediante un efectivo procesamiento de la información. El enfoque del trabajo en el aula a través de grupos operativos, propone trabajar con los alumnos en un ambiente, donde las respuestas a problemas propuestos, principalmente son generadas por los alumnos en tres tiempos: I. Convencerse a sí mismos de su solución. II. Convencer a los miembros de su equipo (de 3 a 4 integrantes) III. Convencer al grupo, socializando las soluciones para enriquecer la visión del problema a través de las múltiples respuestas. Parafraseando a Piaget; lo que requerimos es una actitud intelectual y moral, hecha de comprensión y cooperación que, sin salir de lo relativo, alcance la objetividad, relacionando entre sí los diversos puntos de vista particulares de los estudiantes.

Objetivo Los estudiantes desarrollarán las habilidades necesarias para aplicar los conocimientos geométricos y trigonométricos a través de situaciones problemáticas, para comprender el mundo físico que lo rodea y resolver los problemas relacionados y que como técnicos enfrenten Nota: Este trabajo está en proceso de conformación, por lo que se aceptan todo tipo de sugerencias y modificaciones conforme se esté aplicando. Símbolos utilizados en el desarrollo de éste material Representa una actividad de motivación Representa trabajo en equipo



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Representa una actividad complementaria

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Geometría y Trigonometría

CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PRIMER PARCIAL PRODUCTO 1.- Línea del tiempo (En Equipo) 2.- Manual de trabajo (Individual) 3.- Mapa conceptual (En Equipo) 4.- Examen (Individual) 04 /Mar/19 5.- Participaciones en clase, en el pizarrón 6.- Retroalimentación

INSTRUMENTO Lista de Cotejo Lista de Cotejo Lista de Cotejo Examen

TOTAL

VALOR % 5% 30% 5% 50% P. extras 10% 100%

CALIF.

Propósito de la asignatura: Que el estudiante aprenda a identificar, analizar y comprender el uso de la configuración espacial y sus relaciones; así como, signifique las fórmulas de perímetro, área y suma de ángulos internos de polígonos. Que el estudiante aprenda a identificar, operar y representar el uso de los elementos figurales del ángulo, segmento, polígono, círculo y sus relaciones métricas. Componente: Estructura y transformación: Elementos básicos de Geometría.

Contenido central:  Conceptos básicos del espacio y la forma: “lo geométrico”.  El estudio de las figuras geométricas y sus propiedades.

Contenidos específicos:  Elementos, características y notación de los ángulos.  Sistemas angulares de medición:  Propiedades de los triángulos según sus lados y ángulos.  Características de las sumas de ángulos internos en triángulos y de polígonos. 

Aprendizaje esperado:  Distingue conceptos básicos de: recta, segmento, semirrecta, línea curva.  Interpreta los elementos y las características de los ángulos.  Mide, manual e instrumentalmente, los objetos trigonométricos y da tratamiento a las relaciones entre los elementos de un triángulo.  Trabaja con diferentes sistemas de medición de los ángulos, realiza conversiones de medidas. Identifica, clasifica y caracteriza a las figuras geométricas.

Competencias genéricas: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Competencias disciplinares: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

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7

Geometría y Trigonometría Pegar examen diagnostico

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8

Geometría y Trigonometría

CURSO DE GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA I. GEOMETRIA PLANA. ORIGEN HISTORICOS DE LA GEOMETRIA. Para que la geometría fuera considerada como ciencia, hubo que pasar muchos siglos, hasta que la cultura griega ordenara los conocimientos empíricos adquiridos por el hombre desde tiempos muy remotos, reemplazando la observación y experimentación por deducciones racionales o lógicas, permitiendo con ello, que la geometría se elevara al carácter de ciencia. En Grecia comienza la geometría como ciencia deductiva, con los matemáticos que contribuyeron con sus conocimientos y que son considerados como los siete sabios de la antigua Grecia. 1. TALES DE MILETO (SIGLO VII A.C.) 2. PITAGÓRAS DE SAMOS (SIGLO VI A.C.) 3. EUCLIDES DE ALEJANDRIA (SIGLO IV A.C.) 4. PLATÓN DE ATENAS (SIGLO IV A.C.) 5. ARQUIMEDES DE SIRACUSA (287 – 212 A.C.) 6. APOLONIO DE PERGAMO (260 – 200 A.C.) 7. HERON DE ALEJANDRIA (SIGLO II D.C.) Es necesario que como alumno conozcas la historia de estos grandes matemáticos y cuáles fueron sus aportaciones a esta ciencia.

Tarea 1. Los estudiantes en equipos de 4 integrantes entregaron una línea de tiempos de estos grandes matemáticos. (Anexar foto de esta tarea)

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Geometría y Trigonometría Etimológicamente la palabra Geometría se deriva de los vocablos Griegos geos (tierra) y metrón (medida), Los antiguos Egipcios, Chinos, Babilonios, Romanos y Griegos utilizaron la geometría en la agrimentura, navegación, astronomía y otras labores prácticas. GEOMETRÍA:

DIVISIÓN DE LA GEOMETRÍA: la geometría se divide para su estudio en: Geometría plana:

Geometría del espacio:

MÉTODO INDUCTIVO Y DEDUCTIVO. Método Inductivo o sintético:

Método Deductivo (analítico o indirecto):

LOS AXIOMAS Y POSTULADOS DE LA GEOMETRÍA. (Investigar las siguientes Proposiciones) Proposición Matemática:

Axioma:

Postulado:

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10

Geometría y Trigonometría Teorema:

Lema:

Corolario:

Definición:

Demostración:

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Geometría y Trigonometría



Tarea 2. Indique el tipo de proposición que es en cada caso.

1. Dados dos puntos distintos A y B, hay por los menos un punto distinto entre ellos. __________

2. Por dos puntos dados cualquiera puede hacerse pasar una recta y solo una. ______________

3. Toda línea recta se prolonga indefinidamente.________________

4. El todo es mayor que cualquiera de sus partes. _________________

5. A la figura geométrica que tiene tres ángulos interiores se llama triangulo._______________

6.

A, B y C son ángulos interiores de un triángulo. ________________

7. Para todo triangulo él

A, B y C suman 180º._________________

8. Conociendo dos ángulos internos de un triángulo, puede conocerse el tercero.__________

9. Se dice que dos rectas son paralelas entre sí, sí y solo si están en el mismo plano y tienen una intersección vacía._____________________

10. Al cociente de dos magnitudes cualesquiera se le llama razón.__________________

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Geometría y Trigonometría CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA. CONCEPTOS NO DEFINIDOS DE LA GEOMETRÍA: Son llamados conceptos fundamentales que corresponden a términos tales como: Punto, Línea, Plano y Volumen, fácilmente comprensible y que no se definen. Hay definiciones que son proposiciones que exponen con claridad y precisión los caracteres de una cosa. LAS DEFINICIONES DE EUCLIDES: Punto: Línea o recta: Superficie:

CONCEPTOS ACEPTADOS ACTUALMENTE: Punto:

Plano:

Recta:

La línea:

Propiedades de la recta. 1. La distancia más corta entre dos puntos, es la recta. 2. Por dos puntos pasa una recta y solamente una. 3. Por un punto pueden pasar una infinidad de rectas. 4. Dos rectas no pueden tener más que un solo punto en común. Línea curva:

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13

Geometría y Trigonometría Recta:

Segmento de recta:

Semirrecta o Rayo:

POSICIÓN DE DOS RECTAS EN EL PLANO: Vertical:

Horizontal:

Rectas paralelas:

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14

Geometría y Trigonometría Rectas perpendiculares:

Rectas oblicuas

ÁNGULOS. Ángulo:

Investigar: La Clasificación de los ángulos de acuerdo a la medida de su abertura. Nombre

Figura

Características y Notación

Ángulo de cero grados

Ángulo agudo

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15

Geometría y Trigonometría

Ángulo recto

Ángulo obtuso

Ángulo llano (Colineal).

Ángulo entrante

Angulo Perígono

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Geometría y Trigonometría SISTEMAS EMPLEADOS EN LA MEDIDAD DE ÁNGULOS. Medida de ángulos: La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura o separación que hay entre ellos, es decir, este se compara con otro que se toma como patrón de medida. Existen tres sistemas fundamentales:  Sistema Sexagesimal.  Sistema Circular.  Sistema Centesimal. Pero los de mayor uso frecuente son: el Sexagesimal y el Cíclico o Circular. Sistema Sexagesimal:

Sistema Circular de Medición de Ángulos:

El Radian se define:

Radián

Igualando el Sistema Sexagesimal y el Sistema Circular

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Geometría y Trigonometría Conversión de Grados a Radianes y Viceversa: Para convertir de Radianes a Grados se utiliza el factor

Para convertir de Grados a Radianes se utiliza el factor

Ejemplo 1. Convertir 5.65 Radianes a Grados.

Ejemplo 2. Convertir 58°12’35” a Radianes.

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Geometría y Trigonometría



Tarea 3. Resuelve los siguientes ejercicios de conversión de ángulos

Convertir a Grados Sexagesimales (No se te olvide escribir el factor de conversión) 1) 2.85 rad.

2) 5.60 rad

3) 2.49 rad.

4) 7.82 rad.

5) 0,7640 rad.

7) 1.8527 rad.

6) 2.9654 rad

8) 9.4048 rad.

Convertir a Radianes (No se te olvide escribir el factor de conversión) 1) 112°

2) 120°12

3) 48°15’24”

4) 327° 45’

5) 145°18’36”

6) 224° 48’’

7) 171°30´43”

8) 219° 08’12”

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Geometría y Trigonometría

Pares de ángulos. Investigar y contestar lo que se te pide; comparando las respuestas con tus compañeros. Nombre

Figura

Características

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos conjugados

Ángulos adyacente

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Geometría y Trigonometría

Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos consecutivos

NOTA: Se debe considerar que los ángulos se pueden generar en sentido contrario a las manecillas del reloj (que se considera +) o en sentido de las manecillas del reloj (que se considera -). Ejemplos: 1. Si  AOC es recto y  AOB y  BOC están en relación de 2:4. Hallar sus valores

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21

Geometría y Trigonometría 2. Si

AOD x, DOC  5x y COB  2x, según la figura ¿Cuánto mide cada ángulo?

3. Si  AOB = 3x y  BOC = 8x; ver figura. ¿Cuánto vale cada ángulo?

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22

Geometría y Trigonometría



Tarea 4. Reafirmación del aprendizaje:

Contesta cada pregunta, y al terminar analiza tus respuestas con tus compañeros de tu grupo. 1. ¿Cuánto mide un ángulo entrante?_____________________________

2. ¿Cómo se llama al ángulo de 180°?____________________________ 3. ¿Cuál es el suplemento del  90°?

4. Si el suplemento del  A es 100° ¿Cuánto mide el  A?

5. ¿Cuánto mide el ángulo Perígono?___________________

6. ¿Cómo se llama a cada una de las 360 partes en que se divide el círculo?____________

7. ¿Cómo se llaman los ángulos menores de 90°?_____________________ 8. Si el complemento del  A mide 35° ¿Cuánto mide el ángulo A?

9. ¿A cuántos grados equivale

jmoguel

3 de un círculo? 6

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Geometría y Trigonometría 10. ¿Son ángulos que tiene un lado común y los otros dos lados forman parte de una misma recta? _______________________ 11. ¿Son ángulos en los cuales los lados de uno son prolongación de los lados del otro? ________________________________ 12. ¿Son ángulos que tienen un lado común?____________________________ 13. Hallar el ángulo que es igual a la mitad de su suplemento.

14. Un ángulo y su complemento están en relación de 6:1 Hallar el valor de los ángulos.

15. Hallar los complementos de los siguientes ángulos a) 42º 25′

b) 37º 12’ 15″

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24

Geometría y Trigonometría 16) Hallar los suplementos de los siguientes ángulos. a) 147º 25`

b) 120º 30’ 42``

17) Si  AOC = 3x y el  AOB = x; hallar el valor de los ángulos de la figura.

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25

Geometría y Trigonometría Ángulos que determinan dos rectas cortadas por una transversal (secante). Sean las rectas AB y CD que son cortadas por una transversal llamada “secante” formando ocho ángulos; cuatro en cada punto de intersección, los cuales reciben nombres específicos. Secante

Ángulos exteriores o externos a A C

c e f g h

b d

B

D

Ángulos interiores o internos

Ángulos colaterales externos:

Ángulos colaterales internos:

Ángulos alternos externos.

Ángulos alternos internos.

Ángulos correspondientes:

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Geometría y Trigonometría Resuelve el siguiente ejemplo: Ángulos exteriores o externos

Secante 1

2

B

A 3

4

Ángulos interiores o internos C

5 6

D

7 8

Ángulos colaterales externos:

Ángulos colaterales internos:

Ángulos alternos externos.

Ángulos alternos internos.

Ángulos correspondientes:

Ángulos opuestos por el vértice:

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Geometría y Trigonometría Ejemplo: Hallar los valores de “x” y los de “y”

A

C

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2x 3x - 20 y + 10

B

D

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Geometría y Trigonometría Tarea 5. Ejemplos de rectas paralelas:  Calcular los valores de” x, y” en cada caso y fundamentar las relaciones establecidas. R = X = 40º, y = 100º 1. 3x – 20° 2x y

2.

R = X = 80º, y= 40º x+y 120° 2x – y

3. R = X = 90º, y= 30º x + 2y x – 2y

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150°

29

Geometría y Trigonometría 4.

R = x = 20º, y= 30º 2x 3x – 20° 10°

y + 10°

5.

R = x = 40º, y= 110º

x+y x – 2y 150°

6. Hallar el valor de los angulos:

x  y  z  v  w 

jmoguel

x

z y

v

w 20º

80º

30

Geometría y Trigonometría TRIÁNGULOS. Triangulo.

Los triángulos se clasifican de acuerdo a sus lados y ángulos que poseen. Según sus lados los triángulos se clasifican en: Nombre Figura Características

Clasificación de los triángulos según sus ángulos: Nombre Figura

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Características

31

Geometría y Trigonometría

Rectas y puntos notables del triángulo. Mediana.

Mediatriz

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32

Geometría y Trigonometría Bisectriz.

Altura de un triángulo.

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33

Geometría y Trigonometría

 Tarea 6. Trazar las alturas, las medianas y las mediatrices para encontrar la recta de Leonhard Euler y comprobarlo utilizando el Geogebra.

C

B

A

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34

Geometría y Trigonometría Teoremas para angulos internos y externos de un triangulo Como ya sabemos, un teorema es una proposición que necesita ser demostrada. Toca demostrar los referidos a los triángulos. Teorema. Los angulos interiores de un triángulo suman 180º La recta RS que pasa por el punto C es paralela a la resta AB Hipótesis: a, b y c son angulos interiores del triángulo ABC Tesis:

abc 180º

Demostración:

Teorema. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los angulos interiores no adyacentes a él.

Hipótesis: Tesis:

d es el ángulo exterior del triangulo

d ab

Demostración:

jmoguel

35

Geometría y Trigonometría

Retroalimentación: Lee con atención los siguientes enunciados e indica con una V si es verdadero o con una F si es falso. 1. Dos rectas se cortan a lo más en un punto. ( ) 2. al cortarse dos rectas perpendiculares forman cuatro angulos menores de 90º. (

)

3. Al cortarse dos planos determinan un sólido.

(

)

4. Una superficie tiene dos dimensiones o es el límite de una línea.

(

)

5. Una proposición, al ser evidente, no requiere demostración.

(

)

Subraya la opción que complete correctamente cada uno de los siguientes enunciados. 6. Fueron quienes difundieron los conocimientos geométricos en Europa en el siglo Vll. a) Los griegos b) Los babilonios c) Los franceses d) Los árabes 7. quienes fueron los que determinaron un valor muy cercano a π, alrededor de 3500 años AC. a) Los griegos b) Los babilonios c) Los franceses d) Los árabes 8. Ciencia que estudia las figuras geométricas, así como sus formas, medidas y propiedades en un mismo plano. a) Geometría espacial b) Geometría analítica c) Geometría Hiperbólica d) Geometría plana Completa los siguientes enunciados: 9. La ______________________de un lado de un triángulo es la recta perpendicular trazada sobre el punto medio del lado. 10. El __________________es la intersección de las tres alturas. 11. A todo ángulo le corresponde un número real, que se llama ______________del ángulo. 12. Si la suma de las medidas de dos angulos es de 90º, decimos que los angulos son _________________________ 13. Un ángulo cuya medidas esta entre 180º y 360º se llama____________________________ 14. Si los lados de dos angulos son rayos opuestos, los angulos son______________________ 15. dos angulos congruentes y complementarios a la vez miden cada uno__________________ Completa la siguiente tabla expresando cada uno de los angulos dados en los dos sistemas: Sistema sexagesimal Sistema cíclico Operaciones valor Operaciones valor

120º

5rad 6 67º87'39'' jmoguel

36

Geometría y Trigonometría

7rad 4 16. El suplemento de un ángulo obtuso es un ángulo: a) Agudo b) llano c) obtuso d) entrante 17. ángulo suplementario de 123º67'54'' : a) 76º32'46'' b) 276º32'46'' c) 18. ¿Cuál es la medida del

33º67'54''

d)

123º67'54''

COB?

a) 34º b) 108º c) 48º d) 132º 19. Determinar el valor de y: a) 70º b) 40º c) 110º d) 80º

20. Encuentra el valor de y: a) 89º b) 91º c) 54º d) 18º

jmoguel

37

Geometría y Trigonometría

Pegar examen 1er. Parcial

jmoguel

38

Geometría y Trigonometría

CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL SEGUNDO PARCIAL PRODUCTO 1.- Manual de trabajo (Individual) 2.- Evidencias de ejercicios (En Equipo) 3.- Polígono en físico (en equipo) 4.- Examen (Individual) 08/Abril/19 5.- Participaciones en clase, en el pizarrón 6. Retroalimentación

INSTRUMENTO Lista de Cotejo Lista de Cotejo Lista de Cotejo Examen

TOTAL Componente: Estructura y transformación: Elementos básicos de Geometría.

Contenido central:  Tratamiento de las formulas geométricas, criterios de congruencia y semejanza de triángulos.  Tratamiento visual de las propiedades geométricas, los criterios de congruencia y semejanza de triángulos.

Contenidos específicos:  Propiedades de los polígonos regulares.  Elementos y propiedades básicas de los ángulos en la circunferencia.  Patrones y fórmulas de perímetros de figuras geométricas.  Patrones y fórmulas de áreas de figuras geométricas.  Patrones y fórmulas de volúmenes de figuras geométricas.  Patrones y fórmulas para la suma de ángulos internos de polígonos.  Patrones y fórmulas de algunos ángulos en una circunferencia.  Criterios de congruencia de triángulos y polígonos.  Teorema de Tales y semejanza de triángulos.

VALOR % 30% 10% 10% 50% P. extras PE Exam. 100%

CALIF.

Aprendizaje Esperado:  Interpreta las propiedades de las figuras geométricas.  Significa las fórmulas de perímetros áreas y volúmenes de figuras geométricas con el uso de materiales concretos y digitales.  Caracteriza y clasifica a las configuraciones espaciales triangulares según sus disposiciones y sus relaciones.  Significa los criterios de congruencia de triángulos constructivamente mediante distintos medios.  Interpreta visual y numéricamente al teorema de tales en diversos contextos y situaciones cotidianas.

Competencias genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias disciplinares: 1.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemáticos y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

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39

Geometría y Trigonometría Congruencia de triángulos. Definición.

Postulados de congruencia:

Primero: lado, ángulo, lado (LAL)

Segundo: Ángulo, Lado, Ángulo (ALA)

jmoguel

40

Geometría y Trigonometría Tercero: lado, lado, lado (LLL).

Con la finalidad de ejemplificar los criterios de congruencia de los triángulos, considérense los puntos que se dan a continuación. 1. Los siguientes triángulos son congruentes, lo cual puede comprobarse al medir los lados de cada triángulo.

2. Los siguientes triángulos no son congruentes, lo cual se comprueba al medir los lados de cada triángulo.

3. Diga si los siguientes triángulos son congruentes, y argumenta tu respuesta

jmoguel

41

Geometría y Trigonometría Determinar que triángulos son congruentes y señalar en cada caso el postulado  Tarea 7. correspondiente. 1.

8

I

60° 12

60°

12

II

III

60°

8

8

12

2. 28 40° 85° III

28 I

II

85°

40°

85°

40°

28

3.

14

21

15

10

II

I 24

14

16

10

III 16

jmoguel

42

Geometría y Trigonometría Semejanza de triángulos.

Ejemplo 1.

Razón de semejanza:

Ejemplo 2. Dados los siguientes triángulos, ¿son semejantes?

jmoguel

43

Geometría y Trigonometría Ejemplo 3. Hallar el valor de: x, z A

A’ 28

30

z

B’

x

C B

10

C’

15

Teorema de Tales (o Thales) EL teorema de Tales se considera el teorema fundamental de la semejanza de triángulos y establece lo siguiente: “Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros dos lados o con sus prolongaciones otro triángulo que es semejante al triángulo dado”. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo: Ejemplo 1. Usar el teorema de Thales para calcular x.

Ejemplo 2. ¿Cuánto mide el segmento x en este dibujo?

jmoguel

44

Geometría y Trigonometría



Tarea 8. Aplicación del teorema de Thales

Ejercicio 1. Las rectas a y b del dibujo son paralelas. Comprueba utilizando el teorema de Thales si también lo es la recta c.

Ejercicio 2. Calcular el valor de x aplicando el teorema de Thales.

Ejercicio 3. Hallar x e y aplicando el teorema de Thales.

jmoguel

45

Geometría y Trigonometría Ejercicio 4. Halla x aplicando el Teorema de Thales.

Ejercicio 5. Las baldas de repisa representada en la figura son paralelas. Calcula las longitudes de la repisa representadas como x e y.

El segundo teorema de Tales de Mileto. Es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, que en este curso son de importancia. jmoguel

46

Geometría y Trigonometría



Tarea 9. Hallar el valor de la letra que se indica en cada ejercicio utilizando la semejanza de triángulos:

R = 18 cm

1.

Z

12cm .

2cm.

2.

3cm.

R = 4,6

2,3

x

3 y

4

2

3. R = 5 cm 5cm .

8cm .

3cm .

x . 3cm .

jmoguel

47

Geometría y Trigonometría 4.

R = 3,62 u. x 1.4 2.7 7

5.

R = 5,33 u.

3

8

2 x

6.

R = 3,53 u. 2.35 x

3

2

jmoguel

48

Geometría y Trigonometría Problemas aplicativos de Semejanza. 1. La sombra de un poste es de 10m en el instante en que la sombra de una varilla de 3m, mide 5m, elabora tu figura e indica, ¿Cuál es la altura del Poste? R = 6m

2. Una tira de madera de 1.8 m de largo, colocada verticalmente, proyecta una sombra de 9 m en el momento en que una torre proyecta una sombra de 45 m. elabora tu figura e indica, ¿Qué altura tiene la torre? R = 9m

3. Calcula la anchura del rio, según la figura.

R = 63 m

B

8m D A

28m

C 18 m E

jmoguel

49

Geometría y Trigonometría 4. Calcular la altura del edificio según la figura.

R = 60 m.

h 10 m

42 m

7m

5. un edificio de 6 m de altura proyecta una sombra de 8 m; a la misma hora, un edificio que se encuentra a su lado proyecta una sombra de 24 m, como se muestra en la figura: ¿Cuál es la altura (h), en metros, del segundo edificio? R = 18 m.

R:__________

ç

jmoguel

50

Geometría y Trigonometría Teorema de Pitágoras: Demostración del teorema de Pitágoras a

b

ab

b2

a

b b

a

ab 2

ab 2

c c

b

c2 a



ab

a b

a

b

Material: Cartulina de colores Tijeras Pegamento

jmoguel

ab 2

c

a

ab 2

a

b Cuadro 2

Cuadro 1

Práctica.

c

Recortar en cartulina el cuadro 1 Divide los rectángulos “ab” a la mitad, mediante una diagonal. Pégalos en el cuadro 2. Como el cuadro 1 y 2 son congruentes se obtiene que

c2 a2 b2

51

Geometría y Trigonometría Teorema de Pitágoras “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos”. Del teorema anterior se deduce los siguientes corolarios. 1. En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de suma de los cuadrados de sus catetos. B c

a C

A

b

2. En todo triángulo rectángulo cada cateto es igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto.

Aplicación de lo aprendido. Ejemplo 1. Calcula el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo, considerando el valor de los catetos. C a =? b=4 c=6

a

b A

B c

Ejemplo 2. Una escalera de 15m se apoya sobre una pared quedando a 6m de su base. Hallar la altura que alcanza la escalera sobre la pared.

15m

h

6m jmoguel

52

Geometría y Trigonometría Perímetro y Área del Triangulo Perímetro Es la longitud de la frontera de una figura geométrica cerrada plana. Formula: P = a + b +c



Área Número de unidades de superficie de una superficie geométrica. Formula de Herón (de Alejandría). Cuando no se conoce su altura:

A s(sa)(sb)(sc)  

Dónde: S es el semiperimetro y a, b y c son los lados del triángulo.

S a bc 2

Ejemplo 3. Hallar el Perímetro y Área del Triángulo.

9m

7m

6m

Ejemplo 4. Hallar el Perímetro y Área del Triángulo

jmoguel

53

Geometría y Trigonometría

 TAREA 10. Aplicando el Teorema de Pitágoras hallar el valor de x para saber cuánto mide cada lado

R = 3.9 u

1. 2x – 1 x +2

9

2.

R=3u 2x + 2

x +3

10

3. R=4u

x+2

10

jmoguel

2x

54

Geometría y Trigonometría 4. Encuentra la altura de un triángulo isósceles si su base mide 6 cm y sus lados miden 10cm. R = 9.53 cm

5. ¿Cuál es la longitud del segmento A de la siguiente figura?

R = 8.54 u

8 A

8

11

6. hallar el Perímetro y el área de los triángulos siguientes:

P = 19 u A = 9,56 u2

6

4

9

7.

2

12

P = 36.66 u A = 56 u2

8

jmoguel

55

Geometría y Trigonometría POLÍGONOS DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS Etimológicamente, la palabra polígono proviene de las raíces POLY´S que significa “muchos” y GONIA o GONOS que significa “ángulo”; por lo tanto, es un “trazo que contiene muchos ángulos”. Definición de polígono. Es una figura cerrada plana formada por una sucesión de segmentos de recta.

Si

No

Si

Notación Como se aprecia en la figura, los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas situadas en los vértices del mismo. Su notación se efectúa escribiendo las letras Mayúsculas después de la palabra polígono o del nombre especifico del polígono o también por sus símbolos gráficos.

Notación: Polígono ABCDE ABCDE Pentágono ABCDE

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS En un polígono hay que considerar: 1. Lados. Son las rectas que limitan al polígono. 2. Ángulos internos. Son los formados por dos lados consecutivos. 3. Ángulos externos. Son los formados por un lado y la prolongación del lado adyacente. Cada ángulo externo es suplemento del ángulo interior adyacente. 4. Vértices. Son los extremos comunes de cada dos segmentos consecutivos, es decir, son los de los ángulos internos del polígono.

jmoguel

56

Geometría y Trigonometría 5. Diagonales. Son las rectas que unen dos vértices no consecutivos en el interior de un polígono. 3

En la figura son: 4

Lados: AB,BC,CD,DE,EF,

2

Angulos internos: 5

1

y FA

RA,RB,RC,RD,RE, y RF

Ángulos externos: R1,R2,R3,R4,R5, Vértices: A, B, C, D, E y F

y R6

AC,AD y AE AB+ BC+ CD+ DE+ EF+ FA

Diagonales: 6

Perímetro:

Poligonal abierta. Son los segmentos que no pertenecen a una misma recta, ordenados de manera que cada uno de los intermedios tenga un extremo común con el anterior y otro con el que le sigue.

Poligonal cerrada. Es una poligonal en la que el extremo del último segmento y el origen del primero coinciden.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS. Se han establecido tres distintas clasificaciones de los polígonos que son: 1. Según el carácter entrante o saliente de los ángulos del polígono se distinguen: a) Polígonos convexos. Cuando tienen todos sus ángulos salientes, es decir, tienen todos los ángulos menores que 180°.

jmoguel

57

Geometría y Trigonometría b) Polígonos cóncavos. Cuando tienen algún ángulo entrante, es decir, uno o más de sus ángulos interiores son mayores que 180°; también se pueden cruzar sus lados, en cuyo caso se les conoce como polígonos estrellados.

2. Según la regularidad de sus elementos se distinguen: a) Polígonos regulares. Son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales, es decir, que son equiláteros y equiángulos. E 120º

60º F

60º

D

120º

60º

120º

A

120º 120º

C

120º

B

b) Polígonos irregulares. Son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales, es decir, cuando no son regulares.

jmoguel

58

Geometría y Trigonometría 3. Escribir el nombre de los polígonos de acuerdo al número de lados. (Investigación). Nombre del Polígono

Nº de lados

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Si el polígono tiene más de 12 lados se denomina de n lados. Por ejemplo, trece lados, catorce lados, etc.

DIAGONALES Y ÁNGULOS DE UN POLÍGONO. Suma de ángulos interiores. Para determinar la suma de los ángulos interiores de un polígono, es necesario trazar las diagonales que tengan por extremos un vértice, y así determinar cuántos triángulos lo dividen; se busca la relación con el triángulo por ser el polígono de menor número de lados y cuyos ángulos interiores suman dos rectos (180°). La relación que existe entre el número de lados y los triángulos formados por sus diagonales en un polígono es. El número de triángulos de un polígono es igual al número de lados del polígono disminuido en dos unidades. Fórmula: Nº. D = n – 2 Siendo n el número de lados de cualquier polígono. Ejemplo 1. Cuantos triángulos se pueden trazar en el interior de un pentágono.

jmoguel

59

Geometría y Trigonometría Teorema La suma de los ángulos interiores

(å Ri) de un polígono es igual al producto de dos ángulos rec-

tos (2R = 180°) por el número de lados (n) del polígono, menos 2.

å Ri = 2R(n- 2)

å Ri = 180º(n- 2)

Para conocer el nombre del polígono conociendo la suma de sus angulos interiores tenemos:

180º(n- 2) = å Ri Ri n- 2= å 180º Ri n= å + 2 180º

Ejemplo 2. Hallar la suma de los angulos interiores de un pentágono.

Ejemplo 3. ¿Cuál es el polígono cuya suma de angulos interiores vale 1260º?

Corolario El valor de un ángulo interior res

(Ri) de un polígono regular es igual a la suma de los ángulos interio-

(å Ri)dividida entre el número de lados (n) de dicho polígono.

Ri 180º(n 2) Ri = donde:nRi = 180º(n- 2) n nRi = 180ºn- 360º transponiendo terminos:nRi- 180ºn = - 360º n(Ri- 180º) = - 360º donde:n = - 360º cambiando signos Ri- 180º n = 360º 180º- Ri

Para saber el nombre del polígono conociendo su

Ri Ri = 180º(n- 2) = å n n

Ejemplo 4. Hallar el valor del ángulo interior de un decágono regular.

Ejemplo 5. Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 90º.

jmoguel

60

Geometría y Trigonometría Suma de ángulos exteriores. Teorema. La suma de los ángulos exteriores

(å Re) de todo polígono es igual a cuatro rectos (4R = 360º).

å Re= 4R= 360º

Corolario. El valor de un ángulo exterior riores

 e

de un polígono regular es igual a la suma de los ángulos exte-

 e dividida entre el número de lados (n) de dicho polígono. Conociendo el Rede un polígono e 360º podemos saber su nombre.  e 4R   n

n

n= 360º Re

Ejemplo 6. Hallar el valor de un ángulo exterior de un decágono regular.

Ejemplo 7. ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior vale 120º?

Numero de diagonales Teorema. El número de diagonales (d) que pueden trazarse desde un vértice es igual al número de lados (n) del polígono menos 3.

d  n3

Para saber el nombre del polígono conociendo el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es:

n = d +3 Ejemplo 8. Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un octágono.

Ejemplo 9. ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar nueve diagonales, desde un vértice?

jmoguel

61

Geometría y Trigonometría Teorema Si n es el número de lados del polígono, el número total de diagonales (D) que pueden trazarse desde todos los vértices del polígono está dado por la fórmula:

D

nn3 nd  2 2

Para conocer el nombre del polígono sabiendo el número total de diagonales que se pueden trazar desde todos los vértices tenemos:

D= n(n- 3) 2 2D= n(n- 3) Þ n(n- 3) = 2D n2 - 3n- 2D= 0

Ejemplo 10. Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un decágono.

Ejemplo 11. ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales en total?

jmoguel

62

Geometría y Trigonometría

 Tarea 11. aplicado las fórmulas de los Polígonos resolver los ejercicios propuestos: 1. Hallar la suma de los angulos interiores de un octágono.

R: 1080º

1. ¿Cuál es el polígono cuya suma de angulos interiores vale 540º?

R: Pentágono

2. ¿Cuál es el polígono cuya suma de angulos interiores vale 1800?

R: Dodecágono

3. Hallar el valor de un ángulo interior de un dodecágono regular.

R: 150º

4. Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 60º.

R: Triángulo

5. Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior vale 135º.

R: Octágono

6. Hallar el valor de un ángulo exterior de un octágono regular.

jmoguel

R: 45º

63

Geometría y Trigonometría 7. Hallar el valor de un ángulo exterior de un polígono regular de 20 lados.

8. Determinar cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior vale 60º.

9.

R: 18º

R: hexágono

Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un pentágono. R: 2

10. Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un decágono. R: 7

11. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar seis diagonales desde un vértice? R: Eneágono

12. Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un octágono.

R: 20

13. Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de 20 lados. R: 170

14. ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 20 diagonales en total?

jmoguel

R: Octágono

64

Geometría y Trigonometría CIERRE DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL TEMA DE POLÍGONOS.

Tarea 12. (Trabajo en equipo) Elaboración de un polígono en físico, obteniendo sus diagonales y sus angulos internos y externos. Instrucciones para el estudiante: A partir de una circunferencia de 10 cm de radio trazar un polígono de 1, 2,3…n lados según un sorteo. Obtener sus angulos internos, externos y sus diagonales

jmoguel

65

Geometría y Trigonometría

jmoguel

66

Geometría y Trigonometría

Perímetro y Área de Polígonos. En geometría, el Perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica plana. Área: Medida de la superficie comprendida dentro de un perímetro. Ejemplo 1. Hallar el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonales son:

d1  6cm y d2  4cm

Ejemplo 2. Halla el Perímetro y Área del siguiente hexágono. Apotema. Es la distancia entre el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados.

jmoguel

67

Geometría y Trigonometría Ejemplo 3. Hallar el Perímetro y el Área del siguiente trapecio:

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68

Geometría y Trigonometría



Tarea 13. Perímetros y Áreas de Polígonos: Problemas de Aplicación

1. Se tiene un sembradío de un cafetal y tiene una forma de paralelogramo ¿Cómo será el área del terreno, si el lado base mide 800 m y la línea imaginaria de su altura es de 400 m? R = 320000 m2.

2. ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo, cuya longitud es cinco veces mayor, que su ancho y tiene un área igual a 80 m2? R = L = 20 m, a = 4 m.

3. El pasillo de la casa de Luis tiene 1.20 m de anchura y bordea un jardín de 10 m de largo por 6 m de ancho ¿Cuál es el área del pasillo? R = 38.4 m2.

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Geometría y Trigonometría 4. Hallar el Perímetro y el Área de la siguiente figura: R = P = 220 cm. A = 1962.09 cm2 Utilizando el modelo matemático de Herón De Alejandría. ¿Calcular su área total?

5. Encuentre el Perímetro y el Área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 16 cm de radio. R = P = 96 cm. A = 55.43 cm2

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70

Geometría y Trigonometría CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Definiciones Circulo. Es la parte del plano interior a una circunferencia y tiene área exclusivamente. Circunferencia. Es una curva cerrada plana cuyos puntos mantienen una distancia constante (radio) a un punto fijo llamado centro. Tiene longitud exclusivamente.

PROPIEDADES Líneas y ángulos asociados Elementos de la circunferencia C=

AB= r= r

DE =

DE= FG= HI= LM= K=

ÁNGULOS ASOCIADOS a) Ángulo central. Es aquel formado entre dos cuerdas y medido desde el centro de una circunferencia

Notación α

jmoguel

Ra =

AB

71

Geometría y Trigonometría b) Ángulo inscrito. Son angulos de los triángulos construidos sobre una cuerda

(BC) .

Notación:

RA= BC 2

c) Ángulo exterior. Es aquel formado por dos secantes que se cruzan fuera de la circunferencia.

Notación:

Re= BC- CD 2

d) Ángulo excéntrico. Es un ángulo interno formado por el cruce de dos cuerdas que no se cruzan en el centro de la circunferencia.

Notación:

Ra = AB+ CD 2

jmoguel

72

Geometría y Trigonometría PERÍMETRO Y ÁREA El Perímetro de una circunferencia es su longitud. Formula: Si

p= C , entonces p= C D 2r

\ P= C= 2pr

Área del círculo. Superficie plana limitada por la circunferencia. Formula:

A= pr2

Ejemplo 1. Hallar el área sombreada.



= 20 cm

20 cm

Ejemplo 2. Hallar el área sombreada.



+

+

20 cm 50 cm 20 cm

70 cm

jmoguel

73

Geometría y Trigonometría

 Tarea 14. En los ejercicios propuestos determinar el valor de las áreas sombreadas 1.

2.

R = 56.55 cm2

R = 3π r22

3. R = 579.23u2

jmoguel

74

Geometría y Trigonometría 4. ABC y DEF son equiláteros

5.

jmoguel

AB 12cm

R = 9 u2

75

Geometría y Trigonometría 6.

R = 21.72 cm2 4cm

7.

jmoguel

R = 28 u2

76

Geometría y Trigonometría 8. calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 12 m. R = 30 cm2 B

A

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C

D

77

Geometría y Trigonometría

Retroalimentación. 1. Jorge, un estudiante de segundo semestre, quiere cambiar un foco del poste del alumbrado. El foco está a una altura de 4.8 m del suelo. Para lograrlo, se auxilia de una escalera de 5.5 m de longitud. Calcula la distancia máxima a la que debe colocar Jorge dicha escalera. Traza un esbozo grafico del problema.

2. Para calcular la altura de una antena de televisión instalada sobre una pared de 4m de altura, Bety y Javier procedieron de esta manera: ambos se ubicaron a 15 m de la pared, luego Javier (cuya altura es de 1.72 m) se fue acercando hacia la pared hasta quedar a 10 m de ella y a 5m de Bety, de modo de modo que ella pudiera ver desde el suelo a la punta de la antena justo por encima de la cabeza de Javier. Conociendo las distancias y dimensiones mencionadas pudieron obtener la altura de la antena. ¿Qué conceptos geométricos emplearon para llegar al resultado? ¿Cuánto mide la antena?

1.72 m

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78

Geometría y Trigonometría 3. trazar un polígono regular de siete lados y calcula lo siguiente: a) La medida de un ángulo central.

b) El número de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices.

c) El número total de sus diagonales

d) La medida de un ángulo interior.

e) La medida de un ángulo exterior.

4. ¿Cuál es el costo de un terreno en forma de triangulo rectángulo isósceles, si se sabe que su hipotenusa mide 30 m y el costo por metro cuadrado es de $ 200.00?

5. Se desea regar un área circular de 153.94 cm 2. ¿Qué distancia debe alcanzar el chorro del aspersor automático para lograr ese objetivo?

jmoguel

79

Geometría y Trigonometría 6. El siguiente diagrama representa un terreno donado por el municipio a la comunidad, con la intensión de que sea utilizado para actividades recreativas. El proyecto abarca la construcción de andadores y zonas verdes. El costo por m2 de césped es de $90 y por el piso para andadores es de $215. Las partes rayadas son las zonas verdes y las demás andamios. r = 2.3

a) ¿Cuánto mide el área verde? __________________ b) ¿Cuál es el área del terreno? __________________ c) ¿Cuál es el costo del área verde?_______________ d) ¿Cuál es el costo total del proyecto______________

jmoguel

80

Geometría y Trigonometría

Pegar el 2do. Examen parcial

jmoguel

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Geometría y Trigonometría

CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL TERCER PARCIAL PRODUCTO 1.- Manual de trabajo (Individual) 2.- Proyecto (En Equipo) 3.- Examen (Individual) 03/Junio/19 4.- Participaciones en clase, en el pizarrón 5.- Retroalimentación

INSTRUMENTO Lista de Cotejo Lista de Cotejo Examen

TOTAL Componente: Trazado y angularidad: Elementos de la Trigonometría plana.

Contenido central:  Conceptos básicos de lo trigonométrico.  Uso y funciones de las relaciones trigonométricas en el triángulo. Funciones trigonométricas y sus propiedades.  Medidas de ángulos y relaciones trigonométricas. Del círculo unitario al plano cartesiano. Una introducción de las razones de magnitudes a las funciones reales. Visualizando formulas e identidades trigonométricas.

VALOR % 20% 50% 20% 10% P. extras 100%

Contenidos específicos:  Medida de ángulos y razones trigonométricas de ciertos ángulos.  El círculo trigonométrico, relaciones e identidades trigonométricas.  Tablas de valores de razones trigonométricas fundamentales.  Las identidades trigonométricas y sus relaciones.

CALIF.

Aprendizaje esperado:  Caracteriza a las relaciones trigonométricas según sus disposiciones y sus propiedades.  Interpreta y construye relaciones trigonométricas en el triángulo.  Analiza el circulo trigonométrico y describe las funciones angulares, realiza mediciones y comparaciones de relaciones espaciales

Competencias genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias disciplinares: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemáticos y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

jmoguel

82

Geometría y Trigonometría TRIGONOMETRÍA.

Funciones trigonométricas La trigonometría se fundamenta en algunas relaciones llamadas funciones trigonométricas, que se definen como las razones entre elementos rectilíneos ligados a un ángulo, cuya variación depende de la variación del ángulo. Entre los lados de un triángulo rectángulo se puede establecer seis relaciones por cociente o razones geométricas cuyo valor depende del ángulo con respecto al cual se establece. B

a

c

 A

C b

Para definir las razones trigonométricas del ángulo , del vértice A, se parte de un Triángulo rectángulo que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo será:

Existen seis funciones trigonométricas básicas. (Investigar sus definiciones). 1) El Seno

2) El Coseno

3) La Tangente

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83

Geometría y Trigonometría 4) La Cotangente

5) La Secante

6) La Cosecante

Determinación de los valores de las funciones de un ángulo agudo dado el valor de una de ellas. Si en un triángulo rectángulo se conocen dos de sus lados, el valor del tercero se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras. Por ello, conociendo el valor de una función de un ángulo agudo, por definición, se conocen dos lados del triángulo y con un previo cálculo se calcula el valor del tercer lado y así, se pueden establecer los valores de las demás funciones. Ejemplo: Dado

Sen.A 5 , encontrar el valor del lado desconocido y obtener las demás funciones. 13 b

c = 13 a=5

Cos A  TanA 

b=

CotA  Sec A  CscA 

Sen B  CosB  TanB  CotB  SecB  CscB 

jmoguel

84

Geometría y Trigonometría



Tarea 15. Encontrar el valor de las demás funciones trigonométricas, dado:

a)

Cos A12 13

b)

Cot B 20 14

c)

TanA2.4

jmoguel

85

Geometría y Trigonometría a)

CscA 2

Dado el valor de una función trigonométrica, hallar el valor únicamente que se te pide b)

TanA 2 3

SecA SenB

c)

CscB7

SenA

CscA

jmoguel

86

Geometría y Trigonometría Determinación de las Funciones Trigonométricas de los Ángulos de 30°,45° y 60° en el primer cuadrante. Funciones de los ángulos de 30° y 60°. Si en un triángulo equilátero de lado igual a dos unidades se traza la bisectriz de uno de sus ángulos a lado opuesto, entonces el triángulo equilátero queda dividido en dos triángulos rectángulos congruentes, ya que la bisectriz coincide con la mediana y la altura

Sen 30

C

Sen 60

30°

2

3

60°

A

B

1

Funciones del ángulo de 45°. Si en un cuadrado de lado igual a 1 se traza una diagonal se obtienen dos triángulos rectángulos congruentes, ya que la diagonal es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une. D

C 45°

1

Sen 45

Cos 45

Tan 45

Cot 45

Sec 45

Csc 45

45°

A

B

1 Ángulo 30° 45° 60°

jmoguel

Sen

Cos

Tan

Cot.

1 2

3 2 2 2 1 2

3 3

3

1

1

3

3 3

2 2 3 2

Sec.

Csc.

2 3 2 3 2

2

2

2 3 3 87

Geometría y Trigonometría



Tarea 16. Hallar el valor numérico de:

a)

2Sen30 Cos30 Cot60 

R 1 2

b)

Sen60 Cot30  tan45 

R 3 2

c)

Sen30 Cos45 Cos60  tan30 

d)

Cot60 Tan30 Sec245 

e)

Tan260 2Tan245 

jmoguel

R  3 2 2 3 12

R 21 3

R 5

88

Geometría y Trigonometría





R2 31

f)

2Cot30 Sec60 

g)

3Tan45 4Sen30 

R1

h)

Tan45 Cot45  Csc30

R1

i)

Sen60 Cos30  Sec60

R0

j)

Cos45  Sec60  Csc45

R1

jmoguel

89

Geometría y Trigonometría Aplicaciones de las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos. En un triángulo rectángulo se tienen cinco elementos fundamentales. Los ángulos agudos y los tres lados. Los dos ángulos agudos son complementarios por lo que conociendo uno de ellos el otro se puede obtener restándole a 90° el valor del ángulo conocido. Si se conocen dos elementos fundamentales de un triángulo rectángulo, que no sean dos ángulos, es posible resolver el triángulo, es decir, se pueden calcular los valores de los demás elementos. En general se presentan dos casos: 1. Cuando se conocen un lado y un ángulo. 2. Cuando se conocen dos lados. La resolución se hace con aplicación de alguna de las funciones trigonométricas o el teorema de Pitágoras Conociendo un lado y un ángulo agudo se puede resolver un triangulo rectángulo.

Ejemplo: 1. Resolver el triángulo rectángulo ABC si Datos c = 75 m

A 65º20' C  90º

B

Incógnitas

B a= b=

c 75m

a

C

jmoguel

A65º20' y c = 75 m.

65º 20’

b

A

90

Geometría y Trigonometría Conociendo dos lados, resolver el triángulo rectángulo. Ejemplo: 2. Resolver el triángulo rectángulo ABC si a = 45.2 m y b = 20.5 m. Datos a = 45.2 m b = 20.5 m

C  90º

Incógnitas

A B c=

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DE DEPRESIÓN. En la resolución de triángulos rectángulos a problemas de orden práctico generalmente se hace referencia a ángulos llamados de elevación y de depresión. Llamaremos visual a la línea recta que va del ojo del observador al objeto observado. Se llama ángulo de elevación al que forma la horizontal con la visual que se halla por encima de la horizontal y en el mismo plano vertical. Se llama ángulo de depresión al que forma la horizontal con la visual, el cual se halla por debajo de la horizontal y en mismo plano vertical.

ANGULOS DE ELEVACIÓN Y DE DEPRESIÓN A De depresión Visual

De elevación

B

En la figura, la persona que se encuentra en A observa a la persona B con un ángulo de depresión, mientras que la persona que se encuentra B observa a la persona A con un ángulo de elevación. jmoguel

91

Geometría y Trigonometría



Tarea 17. Resolver los siguientes triángulos rectángulos cuyos datos son:

1. Dados un lado y un ángulo: a) c54 A37º40'

b)

b 261.7 A 4321`

c)

c100 B37º12'

jmoguel

92

Geometría y Trigonometría

b154 A6312`

d)

e)

a 67 A4230`

2. Dados los dos lados: a) a 36

b58

jmoguel

93

Geometría y Trigonometría b)

c 47 b33

c)

a 425 b 260

d)

c326 a 28

jmoguel

94

Geometría y Trigonometría

 Tarea 18. Ejercicio de aplicación de los triángulos rectángulos 1. ¿Qué distancia debe recorrer un vehículo para subir 6 m si la carretera tiene una inclinación de 7º con respecto al horizonte. R = 49.2 m.

2. Calcular la altura de una torre si desde un punto situado a un kilometro de la base se ve la cúspide con un ángulo de elevación de 16º42’ R = 300 m.

3. Desde la cumbre de un cerro de 300m de alto, el ángulo de depresión de un barco es de 17º35’. Hallar la distancia del barco al punto de observación. R = 993.05 m.

4. Halla la altura de un avión, si la sombra proyectada está a 156 m, del pie de la vertical, estado el sol 78º sobre el horizonte. R = 733.92m.

jmoguel

95

Geometría y Trigonometría 5. Una escalera AB está apoyada en un muro de 2 m. de alto como se muestra en la figura. Calcular el ángulo α y la longitud de la escalera.  = 41º48’ y 4.2m.

1.2m

B

2.8m

A

α

6. Desde lo alto de una torre de 37m. los ángulos de depresión de los objetos situados de un mismo lado y en la misma línea horizontal que el pie del edificio son respectivamente 10º13’ y 15º46’. Hallar la distancia entre los objetos. R = 74.26m.

7. Un asta de bandera está fijada verticalmente en lo alto de un edificio. desde un punto a 50m. del pie del edificio, los ángulos de elevación al pie y a la punta del asta son 21º50’ y 33º 03’. Hallar la medida del asta. R = 12.50m.

jmoguel

96

Geometría y Trigonometría 8. Desde un helicóptero que está a 180m sobre el centro de una ciudad, el ángulo de depresión a otra población de 10º14’. Hallar la distancia entre las dos poblaciones. R = 997.06m.

9. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 48º, un árbol en una ladera de 20º de inclinación proyecta una sombra de 18m. Calcular la altura del árbol. R = 12.62m.

jmoguel

97

Geometría y Trigonometría 10. Un poste vertical de 40 pies de altura se levanta en una pendiente que forma un ángulo de 17º con la horizontal. calcular la longitud mínima del cable que llegue desde la punta del poste a un lugar a 72 pies cuesta debajo de la base. (en cantidades enteras). R = 95pies.

11. Un aeroplano mantiene una altitud de 600m al volar sobre la ciudad. A medida que aproxima a la pista de aterrizaje, los ángulos de depresión a los extremos de la pista son 15°28´ y 40°43´. ¿Cuál es la longitud de la pista? R = 1471.28 m

600m

Pista

jmoguel

98

Geometría y Trigonometría RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS En un triángulo oblicuángulo se tienen seis elementos fundamentales: los tres lados y los tres ángulos. De tal forma que puede haber tres ángulos agudos o un ángulo obtuso y dos agudos, ya que conociendo dos ángulos, el tercero se puede obtener restándole a 180° la suma de los dos primeros. Un triángulo oblicuángulo se puede resolver si se conocen tres elementos, siempre y cuando no sean tres ángulos. En general se presentan cuatro casos: I. Cuando se conocen un lado y dos ángulos. II. Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. III. Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. IV. Cuando se conocen los tres lados. De tal manera que la resolución de estos cuatro casos se hace con la aplicación de la ley de los senos y de los cosenos o de ambas Ley de los senos. En todo triangulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos; es decir,

a  b  c Sen.A Sen.B Sen.C Ley de los cosenos. En todo triangulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de esos lados por el coseno del ángulo comprendido; es decir,

a2 b2 c2 2bcCos.Aa  b2 c2 2bcCos.A b2 a2 c2 2acCos.Bb a2 c2 2acCosB.

c2 a2 b2 2abCos.Cc  a2 b2 2abCos.C Ejemplo 1. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si

a 22m,A35,B65

B

Datos

a  22m

65°

c

a  22m

b= c=

A35 B65 C 

jmoguel

A

35°

b

C

99

Geometría y Trigonometría Ejemplo 2. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si Datos

a b c 15m A11010' B52 C 

c 15m,A11010',B52

B 52°

a

c15 A

110°10’

C

b

Ejemplo 3. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si Datos

a 125m,b 230m,C 3510' B

a 125m b  230m

a 125m

c

c=

A B C 3510'

jmoguel

A

35°10’

b  230m

C

100

Geometría y Trigonometría Ejemplo 4. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si Datos

a 36m b 48m c 30m A B C 

jmoguel

a 35m,b 48m, y c 30m B

c 30m

A

a 36m

C

b 48m

101

Geometría y Trigonometría

 Tarea 19. Resolver los siguientes Triángulos Oblicuángulos cuyos datos son: 1.

2.

A80 B2215` b 81cm

B6021 C 7113` c 75.80cm

jmoguel

102

Geometría y Trigonometría 3.

4.

B6939' a 54.08cm b 60.45cm

A7430` a 422cm c 358cm

jmoguel

103

Geometría y Trigonometría 5.

6.

B  6830` a  32cm c 56cm

C 113 a  37cm b 12cm

jmoguel

104

Geometría y Trigonometría

 Tarea 20. Ejercicios de aplicación de los triángulos oblicuángulos. 1. Dos personas de frente y a 2500m. una de otra en el mismo nivel horizontal observan un avión con ángulos de elevación de 50º10’ y 65º40’. Hallar la altura del avión. R=1943.64m

h

2. Tres circunferencias, cuyos radios respectivamente miden 115, 150 y 225cm. son tangentes exteriores entre sí. Encontrar los ángulos que se forman cuando unen los centros de las circunferencias. R=43º10’; 61º20’; 75º30’

jmoguel

105

Geometría y Trigonometría 3. Desde los extremos de un puente se localiza un objeto A como se ve en la figura. Calcular la alturadel puente R=129.6m 200 m 46°

60°

A

4. Calcular la longitud del túnel AB que atraviesa la montañas si

α 4220` y  5330` R=1.85 km.

1 km.

α

β

A

B

5. En un trabajo de topografía se quiere determinar la posición de un punto “B”, alineado con LA, y a 230m.de A, salvando un obstáculo. para ello, se localiza el punto C como se ve en la figura. calcular el  y

CB.

R=  = 83° y

CB 166.7m

C α 180m 134°

L

jmoguel

A

B

106

Geometría y Trigonometría IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Identidad trigonométrica. Es una relación que contiene funciones trigonométricas y que es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones. Identidades fundamentales Relación Inversa

Csc  1 Sen Sec  1 Cos Cot  1 Tan

Relación por cociente

Tan  Sen Cos Cot  Cos Sen

Relación Pitagórica

Sen2 Cos2 1 Sec2 1Tan2 Csc2 1Cot2

VERIFICACIÓN DE IDENTIDADES Para verificar una identidad trigonométrica se transforma uno de los miembros (se recomienda el más complicado), en el otro. La verificación de identidades requiere:  Recordar las identidades fundamentales y sus variaciones.  Convertirlas a las funciones seno y coseno las que no estén en estas funciones.  Habilidad en los procesos de multiplicación, factorización, suma de fracciones, etc…  Mucha práctica. Ejemplo: verificar la siguiente identidad

jmoguel

Sec2 Csc2 Sec2Csc2

107

Geometría y Trigonometría

 Tarea 21. Comprobar las siguientes identidades: 1)

Cos Csc Tan 1

3)

Tanx . Secx . Senx .

5)

2)

Cosx .  Senx . Cot.x

4)

Senx . Cosx . 1 Cscx . Secx .

Tanx . Cot.x Secx . Cscx .

6)

Senx . Cosx . 1 1 Senx . Tanx .

7)

Secy .  Seny Tany . Cot.y

8)

Cscx . Secx . Cot.x

9)

1Senx .  Cosx . Cosx 1Senx .

10)

z Sen4z 1Cos 2 Csc z

jmoguel

2

108

Geometría y Trigonometría 11)

Secx . 1Sen2x Cosx .

12)

13)

Tanx . Senx .  Secx . 3 Sen x 1Cosx .

14)

1  Secy . Tany . Secy . Tany .

15)

Cscx . Cosx Tanx . Cot.x

16)

1- 2Sen2x= 1- Tan2x 1+ Tan x

17)

Senx . Secx . Cosx . Cot.x

18)

1Senx . 1Senx . . Tanx . 2 Secx

jmoguel

Tanz . Cosz . Cscz . 1

2

109

Geometría y Trigonometría 19)

Cos2x 1Senx . 1Senx .

21)

23)

20)

Senx . Cosx .  Secx . Cscx . Senx . Cosx . Secx . Cscx .

1Sen2x1Tan2x 1

22)

1  1 2Sec2y 1Seny . 1Seny .

. 2Senx . 2Tanx . 1 Cosx Cosx .

24)

. 12Sen2x  Cot.xTanx Tanx . Cot.x

25)

jmoguel

Tan4xSec4x 12Sec2x

110

Geometría y Trigonometría

Retroalimentación. 1. De acuerdo con la figura, calcula: a) Las razones trigonométricas de los Dy E b) Cuanto miden los ángulos Dy E

2. Mely, tiene una altura de 1,62 m, y se encuentra en la parte más alta de un edificio conocido con el nombre de “gran hotel”. Observa otro edificio llamado la “condesa”, de 40 m de altura. Si mira hacia la parte más baja y después hacia la parte más alta, y sabe que los angulos de depresión son de 39º y 19º respectivamente, ¿Cuál es la altura del “gran hotel”?

jmoguel

111

Geometría y Trigonometría 3. Un herrero debe hacer una mesa rinconera triangular de tal forma que un lado mida 4 m, el otro 2.5 m y el ángulo opuesto al primer lado debe ser de 60º. ¿Lo conseguirá? Explica si se puede.

4. demuestra las siguientes identidades trigonométricas.

cos A1senA cot A senA

a)

cos A

b)

1tan2 A2sen2 A1 1tan2 A

jmoguel

112

Geometría y Trigonometría Pegar el 3er examen Parcial

jmoguel

113

Geometría y Trigonometría Resumen de fórmulas para Perímetros y Áreas de figuras planas y Volumen de Solidos Figura

Perímetro y Área

Figura

Perímetro y Área

P  4a A  D d 2

P  2a 2b A b h

D = diagonal mayor d = diagonal menor Paralelogramo

Rombo

P  abc d A  b1 b2 h  2 

P  ab Bh

a  Bb2 h2 A  Bbh  2 

b1 = base mayor b2 = base menor h = altura Trapecio

Trapecio recto

P5b 4r2 4a2 b2 a  r 62 5  r cos36º 4 r b  102 5  2rsen36º 2 A 5ab  5 r2 102 5 2 8 5 A r2 sen72º Pentagono regular 2

P6b a  3 b bcos30º 2

A 3 3 b2 3b2 sen60º 2 Hexágono regular

P  nb  2n a tan180º n 180º a  r cos n 180º b  2rsen n

P  8b 16atan22.5º a  r cos22.5º b  2r sen22.5º

Octágono regular

jmoguel

A 4ab 8a2 tan22.5º  2 A 8 2 8 a2  2b tan22.5º 2 A 2b 2 1





Pol. regular de

nab 180º 2 nlados A 2  na tan n

114

Geometría y Trigonometría Figura

Perímetro y Área

P  2r  L

Figura

L r  180º   A r2    sen   360º 2   

α = grados sexagesimales Sector circular Segmento circular

P  2r c

c  2rsen 2 sen A r2  2

jmoguel

P  2 Rr  2Rr 360º A R2 r2   360º

Trapecio circular

P  ab

P  2Rr AR2 r2 

Corona circular

2

r  hc 2 8h    h  r 1cos  c  2rsen 2 2  P  Lc

L r  180º Ar2  360º

Triangulo circular

Perímetro y Área



P  402 a2sen2t b2 cos2 tdt Aab

Elipse

115

Geometría y Trigonometría

Referencias bibliográficas que se utilizaron para este cuaderno de trabajo        

Carlos Oropeza Bonilla. (2016) Geometría y Trigonometría, DGETI Guzmán H., Abelardo. (2000). Matemáticas II, Geometría y Trigonometría. México: CULTURAL Baldor Aurelio. Geometria y Trigonometria. Editorial: Publicaciones Culturales Cuéllar C., Juan A. (2018). Matemáticas 2, Geometría y Trigonometría. México: McGraw Hill Luque Luna Alberto, (2014) Elementos de Geometría Euclidiana: Noriega www.khan academy.com You Tube Software Geogebra,

jmoguel

116
Manual de Geo y Trig (Estudiantes)

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