Modulo 18 de A y T

SAVE OFFLINE

18 Ángulos notables

Introducción En este módulo se continúa el estudio de la trigonometría del triángulo rectángulo. Se comienza deduciendo las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º aprovechando las propiedades de los lados de triángulos rectángulos con ángulos internos de 30º y de 45º. Se termina deduciendo algunas identidades fundamentales básicas.

Objetivos 1. Definir los ángulos especiales. 2. Definir las funciones trigonométricas de ángulos especiales.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo es el cateto opuesto a un ángulo de 30º en un triángulo rectángulo? 2. ¿Cómo es el cateto opuesto a un ángulo de 45º en un triángulo rectángulo? 3. Mencione tres identidades básicas que se deducen del estudio de este módulo.

Contenido 18.1 Ángulos notables

Visite el sitio http://docencia.udea.edu.co/cen/ AlgebraTrigonometria/

Vea el módulo 18 del programa de televisión Álgebra y trigonometría

Álgebra y trigonometría 205

Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo

18.1 Ángulos notables Se puede utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos especiales de 30º, 45º, 60º, o lo que es lo mismo, de los ángulos de

, , radianes. 6 4 3

Considérense los dos triángulos rectángulos siguientes, que involucran a estos ángulos (figuras 18.1 y 18.2).

Figura 18.1. Triángulo de las funciones de 45 grados

Figura 18.2. Triángulo de las funciones de 30 y 60 grados

En los dos triángulos anteriores se han tenido en cuenta las propiedades siguientes: 1. 2.

206

En un triángulo rectángulo e isósceles los catetos son iguales. En un triángulo rectángulo con ángulos interiores de 30º y 60º, el lado opuesto al ángulo de 30º tiene longitud igual a la mitad de la hipotenusa.

Módu lo 18: Ángulos notables De acuerdo con las definiciones de las funciones trigonométricas, se tiene:

sen 45º !

a

cos 45º !

a

tan 45º !

2a

!

1

!

1

2a

2

2

!

2 . 2

!

2 . 2

a ! 1. a

a 1 sen 30º ! 2 ! . a 2

3 a 3 2 cos 30º ! ! . a 2 a 1 3 tan 30º ! 2 ! . ! 3 3 3 a 2

3 a 3 sen 60º ! 2 ! . a 2 a 1 cos 60º ! 2 ! . a 2

3 a 2 ! 3. tan 60º ! a 2 Ejemplo 11 Si se tiene el siguiente triángulo rectángulo (figura 18.3):

Escuche La trigonometría en la antigüedad en su multimedia de Álgebra y trigonometría

Álgebra y trigonometría 207

Capítulo 7: Trigonometría del triángulo rectángulo

Figura 18.3

Como a 2 " b 2 ! c 2 , se tendrán las siguientes igualdades:

a2 b2 c2 " ! o sea c2 c2 c2

sen 2

cos2

2

2

#a$ #b$ % & " % & ! 1. Por tanto, se cumple que: 'c( 'c(

! 1.

La expresión anterior se cumple para cualquier ángulo ) y se llama una identidad trigonométrica. De forma similar se pueden demostrar las siguientes identidades trigonométricas. a.

1 + tan 2 ) ! sec 2 ) .

b.

1 + cot 2 ) ! csc2 ) .

c.

sen ) · csc ) ! 1.

d.

cos ) · sec ) ! 1.

e.

tan ) · cot ) ! 1.

Ejemplo 12 Demuestre que en todo triángulo rectángulo, dado un ángulo agudo * , siempre se cumple que 1 " tan 2 * ! sec2 * . Solución Si se tiene el triángulo rectángulo siguiente (figura 18.4):

208

Módulo 18: Ángulos notables

Figura 18.4

2

Como

2

2

a "b !c ,

2

se cumple también que

a 2 b 2 c2 " ! b2 b 2 b2

o sea

2

#a$ #c$ % & " 1 ! % & ; por tanto, para todo ángulo se cumple que tan2 ! + 1 = sec2 ! . 'b( 'b(

Ejemplo 13 Demuestre que en todo triángulo rectángulo, dado un ángulo ! , siempre se cumple que 1

cot 2 ! ! csc2 !.

Solución De acuerdo con la gráfica del ejemplo anterior, se tiene que a2 + b2 = c2 y por tanto

a 2 b2 c2 " ! , o sea a 2 a2 a

2

2

#b$ #c$ 2 2 % & " 1 ! % & ; por tanto, cot * " 1 ! csc * . a ' ( 'a(

Álgebra y trigonometría 209