P2-PYE2-LECTURA - Eventos Mutuamente Excluyentes

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Probabilidad: Introducción La probabilidad se remonta al siglo XVI. Al principio la probabilidad se relacionaba con los juegos de azar. Las personas utilizaron el conocimiento de la teoría de la probabilidad para obtener ganancias mediante estrategias de apuestas. Actualmente existen muchos lugares donde se utiliza el juego de azar como en casinos, diversas loterías, deportes. Actualmente las compañías particulares adoptan la teoría de la probabilidad para desarrollar estrategias en sus procesos no lucrativas de la toma de decisiones de sus inversiones. Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican calcular la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. Énfasis: Resolver problemas que impliquen eventos mutuamente excluyentes e independientes. En esta sesión, analizarás las características de los eventos mutuamente excluyentes e independientes. Posteriormente, resolverás problemas que impliquen eventos mutuamente excluyentes e independientes, conocerás la escala de probabilidad, analizarás el significado de los valores al obtener una probabilidad tanto en expresiones de la medida de probabilidad, como en la probabilidad geométrica, para eso nos hacemos las siguientes preguntas.

¿Recuerdas qué es la probabilidad? La probabilidad Es el cálculo matemático que evalúa las posibilidades que existen de que una cosa suceda cuando interviene el azar.

¿Qué es un experimento aleatorio? Los experimentos (o fenómenos) aleatorios Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado.

Y, por último, el concepto de espacio muestral. Espacio Muestral: Es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

También recuerda que es un evento. Un Evento Es uno o más de los posibles resultados particulares de un experimento aleatorio.

El empleo de las probabilidades indica que existe algún elemento aleatorio relativo a la ocurrencia o no ocurrencia en un futuro, es por lo que la probabilidad se plantea con respecto a algún evento determinado.

Eventos Cuando hablamos de un “Evento”, nos referimos a uno o más resultados. Ejemplos de Evento: • Obtener un 3 al lanzar un dado. • Obtener un As de una baraja. Un evento también puede tener varios resultados: • •

Al elegir un As de una baraja de una baraja puede obtener cualquiera de los 4 Ases que existen en la baraja. Al lanzar un dado y obtener un impar, estos podrían ser el 1, 3, o 5.

Los eventos pueden ser: Independientes (cada evento no se ve afectado por otros eventos). Mutuamente Excluyentes (los eventos no pueden suceder al mismo tiempo). Dependientes (también llamado "Condicional", donde un evento se ve afectado por otros eventos). Veamos cada uno de esos tipos.

Eventos mutuamente excluyentes e independientes.

Basados en lo anterior trabajarás con los eventos a los cuales se les conoce como Mutuamente Excluyentes. Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando dos eventos o más eventos que no pueden suceder al mismo tiempo, y la ocurrencia de uno de ellos evita la ocurrencia del otro. Se habla de un resultado en un experimento que, si llega a ocurrir, causa que el otro resultado ya no pueda suceder. Que uno de ellos suceda limita el hecho de que el otro se pueda presentar. Algunos ejemplos son: Si tienes abiertos los ojos, no puedes estar al mismo tiempo con los ojos cerrados. O si te encuentras en este momento parado, no puedes entonces, estar sentado simultáneamente. Es importante darte cuenta que tienes muchos ejemplos cotidianos en donde al realizar un experimento aleatorio, obtienes un resultado que elimina la posibilidad de obtener otro.

Ahora, observa algunos ejemplos de manera práctica: Ejemplo 1. Tienes un dado que como sabes tiene 6 caras, en este caso lo numeras con los dígitos del 1 al 6. Y si lo lanzas qué número podría quedar en la cara superior del mismo.

Podría quedar el número 4 como sabes, eso anuló de inmediato la posibilidad de que cualquiera de los otros 5 números de las caras restantes, así que, los eventos son excluyentes en sí mismos. Ejemplo 2. Dentro de una caja tienes 20 tarjetas numeradas del 1 al 20. En algún momento sacas una de ellas ¿será posible que la tarjeta que saques sea menor de 4 y al mismo tiempo múltiplo de 6? Verifica si esto sería posible. Los números en las tarjetas que cumplen con ser menores de 4 son:

Los números que son múltiplos de 6 en las tarjetas son:

Como verás ninguno de los números posibles cumple ambas condiciones, es decir, no hay coincidencia en las tarjetas, por lo cual no puede ocurrir una y la otra condición simultáneamente, por lo que son “eventos mutuamente excluyentes”.

Ejemplo 3. La probabilidad de sacar un 5 cuando se tira un dado es de 1/6 porque hay un 5 en un dado y hay seis posibles resultados. Si llamamos a la probabilidad de tirar un 5 “Evento A”, entonces la ecuación es: P(A) = número de formas en que el evento puede ocurrir / número total de resultados P(A) = 1 / 6. Si quiero saber cuál es la probabilidad de obtener un 5 y un 6 juntos al lanzar un dado. Esto es imposible poder sacar un 5 y un 6 juntos; porque los eventos son mutuamente excluyentes. Esto significa que la probabilidad de que el evento A (sacar un 5) y el evento B (sacar un 6) ocurran juntos es 0. Los eventos se escriben así: P (A y B) = 0 P (A ∩ B) = 0 Nota: Como saber que se trata de un evento compuesto, por el conectivo “y”, este debe de estar como A y B, que nos indica que los dos eventos deben ocurrir simultáneamente, y el este conectivo se expresa (∩) y esto es la intersección de dos eventos. Pero, sin embargo, cuando se tira un dado, se puede tirar un 5 o un 6 (las probabilidades son 1 de 6 para cada evento) y la suma de cualquiera de los dos eventos es la suma de ambas probabilidades. En probabilidad, se escribe así: P (A o B) = P(A) + P(B) P (A U B) = P(A) + P(B) P (sacar un 5 U sacar un 6) = P (sacar un 5) + P (sacar un 6) P (sacar un 5 U sacar un 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. Nota: Cuando tenemos el conectivo “o”, significa que dos eventos o más eventos que no pueden suceder al mismo tiempo y este conectivo se expresa como una unión (U) y significa que ocurre el evento A o el evento B.

Ejemplo 4. Calcular la probabilidad de obtener un número par o impar del lanzamiento de un dado. a) Obtener un número impar. b) Obtener un número par. Es este caso tenemos dos eventos que no tienen elementos en común pero podemos usar la fórmula anterior P (A o B) = P(A) + P(B) P (A o B) = 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1 = 100% Esto significa que siempre voy a tener éxito en sacar un numero par o un numero impar.

Ejemplo 4. Si P(A) = 0,20, P(B) = 0,35 y (P AU B) = 0,51, ¿Son A y B mutuamente excluyentes? Nota: para saber si son mutuamente excluyente. Paso 1: Sume las probabilidades de los eventos separados (A y B). .20 + .35 = .55 Paso 2: Comparar la respuesta con la declaración de unión dada (A U B). Si son iguales, significa que los eventos son mutuamente excluyentes. Si no son los mismos, no se excluyen mutuamente. Esto es porque si son mutuamente excluyentes (lo que significa que no pueden ocurrir juntos), entonces la (U) unión de los dos eventos debe ser la suma de ambos, es decir, 0,20 + 0,35 = 0,55. En nuestro ejemplo, 0,55 no es igual a 0,51, por lo que los eventos no son mutuamente excluyentes.

Ejemplo 5. Tienes las mismas 20 tarjetas del ejemplo anterior, ahora quieres saber si existe la posibilidad de que en un evento una tarjeta sea un número múltiplo de 3 y al mismo tiempo el dígito de las unidades sea 5. Realiza una lista de las dos situaciones: Números que son múltiplos de 3 en las tarjetas:

Números en las tarjetas cuyo dígito de las unidades es 5:

Como verás, en ambos espacios muestrales tienes una coincidencia, el número 15, de tal manera que sí es posible que suceda tener una tarjeta con ambas características, por lo cual los eventos no son mutuamente excluyentes. Ahora conocerás los “Eventos Independientes”.