Slides - Aula 23 - Circunferências-Prof Wilkson Linhares e Ten Liliane_2020

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CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNFERÊNCIAS

Prof. Wilkson Linhares e Ten Liliane

AGENDA DA AULA • Definições - Elementos • Posições Relativas: Ponto-Circunferência; Reta-Circunferência; Circunferência-Circunferência • Segmentos Tangentes – Quadriláteros Circunscritíveis • Exemplo

DEFINIÇÃO - ELEMENTOS Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância (não nula) dada. O ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência.

Dados: um plano , um ponto , Onde

,

de =

e uma distância , ∈ . , =

representa a circunferência de centro

e raio .

DEFINIÇÃO - ELEMENTOS CORDA, DIÂMETRO E RAIO Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à circunferência. é uma corda. Diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo centro. é um diâmetro. Raio de uma circunferência é um segmento com uma extremidade no centro e a outra num ponto da circunferência. é um raio.

POSIÇÕES RELATIVA: PONTO-CIRCUNFERÊNCIA Dado um ponto X e uma circunferência • X é interno a ⟺ , < . • X pertence a ⟺ , = . • X é externo a ⟺ , > .

,

,

Na figura, I é interno a , P pertence a e E é externo a .

POSIÇÕES RELATIVA: RETA-CIRCUNFERÊNCIA SECANTE - DEFINIÇÃO Uma reta secante a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos. Dizemos que a reta e a circunferência são secantes. ⋂ = { , }.

PROPRIEDADE DA SECANTE Se uma reta , secante a uma circunferência , , não passa pelo centro , intercepta nos pontos distintos A e B, e se M é o ponto médio da corda , então a reta é perpendicular à secante (ou à corda )

POSIÇÕES RELATIVA: RETA-CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE - DEFINIÇÃO Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em único ponto. A reta tangente a uma circunferência tem um ponto comum com a circunferência, e os demais pontos da reta são externos à circunferência. O ponto comum é o ponto de tangência. Dizemos que a reta e a circunferência são tangentes. Na figura: ⋂ = { }.

POSIÇÕES RELATIVA: RETA-CIRCUNFERÊNCIA PROPRIEDADE DA TANGENTE Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangencia.



em

POSIÇÕES RELATIVA: RETA-CIRCUNFERÊNCIA EXTERIOR - DEFINIÇÃO Uma reta exterior a uma circunferência é uma reta que não intercepta a circunferência. Dizemos que a reta e a circunferência são exteriores. Na figura: e⋂ = {∅}.

POSIÇÕES RELATIVA: RETA-CIRCUNFERÊNCIA RESUMO Considerando uma reta , uma circunferência ( , ) e sendo a distância do centro à reta ( = , ) há três possibilidades para e : dr

e

⋂ =∅ são externas

POSIÇÕES RELATIVA: CIRCUNFERÊNCIA-CIRCUNFERÊNCIA Uma circunferência é interna a outra se todos os seus pontos são pontos internos da outra. Uma circunferência é tangente interna a outra se têm um único ponto comum, e os demais pontos da primeira são pontos internos da segunda. Duas circunferências são tangentes externas se têm um único ponto comum, e os demais pontos de uma são externos à outra. Duas circunferências são secantes se têm em comum somente dois pontos distintos. Duas circunferências são externas se os pontos de uma delas são externos à outra.

POSIÇÕES RELATIVA: CIRCUNFERÊNCIA-CIRCUNFERÊNCIA RESUMO Considerando duas circunferências ( , ) e ( , ) com > e sendo a distância entre os centros, prova-se que há cinco possibilidades e : <

=



interna a





tangente interna a =

+

tangente externa a

<

e >

+

externa a

<

+

são secantes

SEGMENTOS TANGENTES – QUADRILÁTEROS CIRCUNSCRITÍVEIS Se de um ponto P conduzimos os segmentos e , ambos tangentes a uma circunferência, com A e b na circunferência, então ≡ .

QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência.

Na figura: ABCD é circunscrito a ou é inscrita em ABCD.

SEGMENTOS TANGENTES – QUADRILÁTEROS CIRCUNSCRITÍVEIS PROPRIEDADE Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.

+ •

=

+

Uma condição necessária e suficiente para um quadrilátero convexo ser circunscritível a uma circunferência é a soma de dois lados opostos ser igual à soma dos outros dois.

EXEMPLO Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. • = 3 + 1; =2 ; = + 1; =3 .

RESOLUÇÃO: I – Pelo Teorema de quadrilátero circunscritível, temos que: • + = + → 3 + 1 + + 1 = 3 + 2 → 4 − 3 − 2 = −2 → − = −2 ∴

= 2.

II – Logo, o perímetro do quadrilátero é igual a: • 2 = 9 + 2 → 2 = 9.2 + 2 → 2 = 18 + 2 ∴ 2 = 20 . .

MUITO OBRIGADO!
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