TP 11 Integrales de Superficie

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ANALISIS MATEMATICO II (Ingenier´ıa) Primer Cuatrimestre 2020 TRABAJO PRACTICO No 11: Integrales de Superficie Integrales de Flujo- Teorema de la Divergencia Teorema de Stokes 1. Hallar, si existe, la ecuaci´on del plano tangente a las superficies en los puntos indicados. a) La superficie dada por las ecuaciones param´etricas x = u2 , y = v 2 y z = u + 2v en el punto (1, 1, 3). b) El semicono del punto 2.b) en los puntos (0, 0, 0) y (1, 0, 2). 2. Hallar el ´area de la supeficie sobre la regi´on indicada. a) La parte del plano 3x + 2y + z = 6 en el primer octante. b) La parte del paraboloide ~r(u, v) = u ˇi + v ˇj + (u2 + v 2 ) kˇ debajo del plano z = 9. c) La parte del paraboloide hiperb´olico z = y 2 − x2 que est´a entre los cilindros x2 + y 2 = 1 y x2 + y 2 = 4. ZZ 3. Calcular f dS siendo: S

vˇ 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2. a) f (x, y) = y + 5, S parametrizada por r(u, v) = u ˇi + v ˇj + k, 2 b) f (x, y) = y, S es la superficie z = x + y 2 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. c) f (x, y) = x2 , S es la esfera unitaria x2 + y 2 + z 2 = 1. ZZ ~ 4. Calcular F~ dS. S

ˇ S es la parte del plano x + y + z = 1 en el primer octante a) F~ (x, y, z) = x ˇi − z ˇj + y k, con orientaci´on hacia el centro. ˇ S es el cubo con v´ertices en (±1, ±1, ±1). b) F~ (x, y, z) = x ˇi + 2y ˇj + 3z k, ZZ ~ donde F~ (x, y, z) = y ˇi + x ˇj + z kˇ y S es el borde de la regi´on s´olida E 5. Evaluar F~ dS, S

encerrada por el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 y el plano z = 0. 6. Verificar el Teorema de Stokes donde

7.

a) F~ (x, y, z) = y ˇi − x ˇj + z 2 kˇ y S es la superficie x2 + y 2 + 3z 2 = 1, z ≤ 0. b) F~ (x, y, z) = yz ˇi + x ˇj + xy kˇ y S es la porci´on del cilindro x2 + y 2 = 1 entre z = 0 y z = 2. Z a) Calcular, utilizando el Teorema de Stokes, y 2 dx + xdy + 2zdz, donde la curva C

C: x = 2cost, y = 2sent, z = −1, (recorrida en sentido antihorario). ZZ ~ para la superficie b) Sin hacer c´alculos, hallar (∇ × (y 2 , x, 2z))dS, S

S: x2 + y 2 + (z + 1)2 = 4, z ≥ −1.

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8. Sea S la superficie cil´ındrica con tapa, que es uni´on de dos superficies S1 y S2 ; donde S1 es la superficie x2 + y 2 = 1 con 0 ≤ z ≤ 1 y S2 es el conjunto de puntos Z Z (x, y, z) tal que ~ x2 + y 2 + (z − 1)2 = 1, z ≥ 1. Sea F~ (x, y, z) = (3y, −x, 3z 2 ). Calcular (∇ × F~ )dS. S

9.

a) Considerar dos superficies S1 y S2 con la misma frontera ∂S. Describir, mediante una gr´afica c´omo deben orientarse S1 y S2 para asegurar que ZZ ZZ ~ ~ ~ (∇ × F )dS = (∇ × F~ )dS. S1

S2

b) Deducir que si S es una superficie cerrada, entonces ZZ ~ = 0. (∇ × F~ )dS S

ZZ

~ donde S es el elipsoide x2 + y 2 + 2z 2 = 10 y (∇ × F~ )dS,

c) Hallar S

F~ (x, y, z) = (sen xy, ex , −yz). 10. Verificar el Teorema de la Divergencia siendo, a) F~ (x, y, z) = (2x2 , −4, 4xz) y S es la superficie cerrada formada por la porci´on del cilindro y 2 + z 2 = 9 limitada por los planos x = 0, x = 2 y z = 0 unida a las tapas correspondientes. b) F~ (x, y, z) = (x, y, z) y S es la superficie formada por la intersecci´on de x2 + y 2 ≤ 1 y x2 + y 2 + z 2 ≤ 4. 11. Resolver el ejercicio 10b) usando el Teorema de la Divergencia. ¿C´ ual de las dos maneras de resolverlo exige menos hip´otesis de regularidad del campo?. 12. Sea F~ (x, y, z) = (x + yez , Q(x, z), 5z) y S la superficie formada por x2 + y 2 + z 2 = 25 y los planos z = 3, z = 4. a) Hallar el flujo exterior de F~ a trav´es de S. b) Hallar el flujo exterior de F~ a trav´es de la porci´on esf´erica. 13. Sea Ω el s´olido limitado por las siguientes superficies S1 : z − 2 = − S2 : z 2 = 3(x2 + y 2 ).

p 3(x2 + y 2 ) y

2 a) Para el campo vectorial F~ (x, y, z) = (x + z2 , y, z) calcular el flujo que atraviesa las paredes del s´olido Ω. b) Para el campo vectorial F~ (x, y, z) = (x, y, 2z). Calcular el flujo que atraviesa s´olo la porci´on de la superficie S2 borde de este s´olido,denominada Sˆ2 . ~ un campo vectorial C 1 tal que rotG ~ = (−2x, y, z). Consideremos la curva C c) Sea G Z   1 1 ~ r. parametrizada por ~r(t) = √3 cost, √3 sent, 1 para t ∈ [0, 2π]. Calcular Gd~ C ZZ ~ dS, ~ considerando la superficie d) Sin hacer nuevas cuentas, decir cu´anto vale rotG

Sˆ2

con normal exterior. Z

~ dS ~ coincida con el resultado obtenido en el rotG

e) ¿Existe alguna superficie S tal que inciso anterior?. Justificar.

S

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14.

a) Sea F~ (x, y, z) = (z arctan y 2 , z 3 ln(x2 + 1), z) un campo vectorial. Determinar el flujo de F~ a lo largo de la parte del paraboloide S : x2 + y 2 + z = 2 que est´a por encima del plano z = 1 y orientado con normal hacia arriba. b) Sea F~ un campo vectorial tal que rotF~ (x, y, 1) = (x2 + xy, y 2 , y). Calcular el flujo del rotF~ a trav´es de la porci´on de superficie parab´olica del inciso anterior. ~ c) Sea G(x, y, z) = (x + y, y + z, z 2 ) una campo vectorial, calcular el trabajo para mover una part´ıcula a lo largo de la curva borde del paraboloide del inciso a).

15. Considere el s´olido limitado lateralmente por un cilindro circular recto de radio 1 y altura 2, inferiormente por el plano xy y superiormente por una superficie desconocida S. Sabiendo que el flujo total es 8π. Calcular el flujo del campo F~ (x, y, 1) = (x + y, x − y, z) a trav´es de S orientada con normal exterior. 16. Sea S la superficie cerrada ”parecida” a un cubo, cuya base es el cuadrado unitario situado en el plano xy, sus cuatro laterales son los planos x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1 y su cara superior es una superficie suave desconocida. Sea F~ (x, y, z) = (x, −2y, z + 3), si se conoce que el flujo de hacia el exterior del lado x = 1 es 1 y hacia el exterior del lado y = 1 es -3, calcular el flujo de F~ hacia el exterior a trav´es de la cara superior de S.

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