Unidad III - Aplicaciones de derivadas parciales

SAVE OFFLINE

Unidad III Aplicaciones de derivadas parciales Cálculo Multivariable

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

2

1. Vector gradiente y derivadas direccionales Unidad III: Aplicaciones de derivadas parciales

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

3

Vector gradiente

 El vector gradiente de una función de dos variables 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 se define como: 𝜕𝑓 𝑥, 𝑦 𝜕𝑓 𝑥, 𝑦 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = i+ j 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝑃 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1

𝑄 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2

𝛻𝑓 𝑥1 , 𝑦1 𝛻𝑓 𝑥2 , 𝑦2 Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

Ejemplo 1.1

4

 Considera la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = a)

Determina 𝛻𝑓 −1, 1

b)

Grafica:

4 − 𝑥2 − 𝑦2 + 2

i.

La superficie de la función

ii.

El punto en la superficie con cordenadas 𝑥 = −1 y 𝑦 = 1

iii.

El vector gradiente 𝛻𝑓 −1, 1 sobre el plano 𝑥𝑦

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

Respuesta del Ejemplo 1.1

5 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = −

4 − 𝑥2 − 𝑦2 + 2 𝑥 4 − 𝑥2 − 𝑦2

𝛻𝑓 −1, 1 =

1 𝐢 2

−

𝐢−

𝑦 4 − 𝑥2 − 𝑦2

𝐣

𝑃 −1,1, 2 + 2

1 𝐣 2

𝛻𝑓 −1,1 =

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

1 2

𝐢−

1 2

𝐣

6

Derivada direccional

 La derivada de una función de dos variables 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 en la dirección de un vector unitario 𝐮 = 𝑎, 𝑏 se define como:

𝑓 𝑥 + ℎ𝑎, 𝑦 + ℎ𝑏 − 𝑓 𝑥, 𝑦 𝐷𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 = lim ℎ→0 ℎ  Es la razón de cambio instantánea de la función en la dirección del vector unitario 𝐮 = 𝑎, 𝑏  Es la pendiente de la recta tangente a la superficie de la función en la dirección del vector unitario 𝐮 = 𝑎, 𝑏

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

7

Derivada direccional

 Cálculo de la derivada de la función 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 en la dirección del vector 𝐮 = 𝑎, 𝑏 :

𝑃 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0

𝐷𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝑢 Recta tangente en el punto 𝑃 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 con pendiente: 𝑚 = 𝐷𝑢 𝑓 𝑥0 , 𝑦0

𝛻𝑓 𝑥0 , 𝑦0

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

𝑢 = 𝑎, 𝑏

Ejemplo 1.2

8

 Considera la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = −𝑥 2 − 𝑦 − 1

2

+2

a) Determina la derivada de la función en el punto con 1 1 coordenadas 𝑥 = y 𝑦 = en la dirección del vector 2

𝑉=

2

1 1 , 4 2

b) Grafica: i.

La superficie de la función

ii.

El punto en la superficie con cordenadas 𝑥 = 2 y 𝑦 = 2

iii.

El vector gradiente 𝛻𝑓

iv.

El vector 𝑉 =

1

1 1 , 4 2

1 1 , 2 2

sobre el plano 𝑥𝑦

sobre el plano 𝑥𝑦

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

1

Respuesta del Ejemplo 1.2

9

𝑓 𝑥, 𝑦 = −𝑥 2 − 𝑦 − 1

2

+2

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = −2𝑥 𝐢 − 2 𝑦 − 1 𝐣

𝛻𝑓

𝑢=

1 1 , 2 2

𝑃

1 1 3 , , 2 2 2

=−𝐢+𝐣

1 2 , 5 5 𝛻𝑓 −1,1 = − 𝐢 + 𝐣

1 1 1 𝐷𝑢 𝑓 , = 2 2 5 𝑢= Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

1 5

𝐢+

2 5

𝐣

10

Valor y Dirección de la máxima razón de cambio de una función de dos variables

La derivada direccional de una función de dos variables en un punto dado 𝐷𝑢 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 depende de:  La dirección del vector unitario 𝑢 = 𝑎, 𝑏

𝑉2 𝑉3 𝑉1

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

11

Valor y Dirección de la máxima razón de cambio de una función de dos variables

Sean:  𝛻𝑓 𝑥0 , 𝑦0 el vector gradiente de una función de dos variables en el punto 𝑃 𝑥0 , 𝑦0  𝑢 = 𝑎, 𝑏 un vector unitario sobre el plano 𝑥𝑦  𝜃 el ángulo entre los vectores 𝛻𝑓 𝑥0 , 𝑦0 y 𝑢

La dirección de la máxima razón de cambio está dada por:

𝛻𝑓 𝑥0 , 𝑦0 La máxima razón de cambio está dada por:

𝛻𝑓 𝑥0 , 𝑦0

𝐷𝑢 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 max = 𝛻𝑓 𝑥0 , 𝑦0 Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

𝜃 𝑢

12

Ejemplo 1.3

La temperatura en un punto 𝑃 𝑥, 𝑦 sobre una placa metálica está dada por

𝑇 𝑥, 𝑦

𝑃 2, 1, 3.5

3 𝑇 𝑥, 𝑦 = +3 1 + 𝑥2 + 𝑦2 Donde 𝑇 se mide en °C y 𝑥 y 𝑦 en metros a) A partir del punto 𝑃 2, 1 , ¿en qué dirección aumenta más rápido la temperatura? b) ¿Cuál es la máxima razón de aumento? Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

Respuesta del Ejemplo 1.3

13

Dirección de la máxima razón de cambio: 1 3

𝛻𝑇 2, 1 = − 𝐢 −

1 6

𝐣

𝛻𝑇 2, 1

Máxima razón de cambio:

𝛻𝑇 2, 1

=

5 6

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

14

Taller

 Sección 14.6  Ejercicios: 32, 34, 22, 12, 8

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

15

2. Valores extremos de funciones de varias variables Unidad III: Aplicaciones de derivadas parciales

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

16

Optimización

Resolver un problema de optimización consiste en determinar las condiciones que producen el "mejor" resultado de un evento Optimización desde una perspectiva de funciones de dos o más variables:  Determinar los valores de las variables de una función que la maximizan o minimizan, así como el valor de la función

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

17

Máximos y mínimos

 Un máximo absoluto de la función 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 es un valor 𝑧0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 que es mayor o igual a cualquier otro valor de la función:

Máximo absoluto

𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≥ 𝑓 𝑥, 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷

 Un mínimo absoluto de la función 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 es un valor 𝑧0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 que es menor o igual a cualquier otro valor de la función: 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≤ 𝑓 𝑥, 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷

Máximo relativo

𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦

Mínimo relativo Mínimo absoluto

𝐷: dominio de la función Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

Máximos y mínimos

18

 El plano tangente a la superficie de una función 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 en un máximo o en un mínimo es horizontal

Plano tangente a un máximo

 Por lo que si 𝑧0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 es un máximo o un mínimo, entonces: 𝜕𝑓 𝑥0 ,𝑦0 𝜕𝑥

=0

y

𝜕𝑓 𝑥0 ,𝑦0 𝜕𝑦

𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦

=0 Plano tangente a un mínimo Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

Puntos críticos

19

 Los puntos críticos de una función 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 son los valores 𝑥0 , 𝑦0 para los cuales el plano tangente a la superficie de la función en 𝑃 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 es horizontal

𝑃 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 Máximo: 𝑧0

 Es decir, 𝑥0 , 𝑦0 es un punto crítico si: 𝜕𝑓 𝑥0 ,𝑦0 𝜕𝑥

=0

y

𝜕𝑓 𝑥0 ,𝑦0 𝜕𝑦

𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦

=0 Punto crítico: 𝑥0 , 𝑦0 Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

Puntos críticos

20

 Si 𝑥0 , 𝑦0 es un punto crítico de la función 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , entonces 𝑧0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 puede ser un máximo, un mínimo o un punto de silla

Máximo Punto de silla

Mínimo

Punto crítico

Punto crítico

Punto crítico Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

21

Procedimiento para encontrar los valores extremos de una función de dos variables 𝜕𝑓 𝑥,𝑦

Obtener las derivadas parciales de la función:

2.

Determinar los puntos críticos mediante la igualación de las derivadas parciales a cero y la resolución del sistema de ecuaciones resultante:

𝜕𝑥

y

𝜕𝑓 𝑥,𝑦

1.

𝜕𝑦

𝜕𝑓 𝑥, 𝑦 =0 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝑥, 𝑦 2 =0 𝜕𝑦 1

3.

Calcular el valor de la función para los puntos críticos encontrados en el paso anterior: 𝑧0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑦0

4.

Determinar si los valores 𝑧0 corresponden a un máximo, mínimo o punto de silla, ya sea con la gráfica de la función o con el criterio de la segunda derivada Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

22

Criterio de la segunda derivada para funciones de dos variables

 Se utiliza para determinar si 𝑧0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 es un máximo, mínimo o punto de silla, donde 𝑥0 , 𝑦0 es un punto crítico: 1.

Se calcula el parámetro 𝐷 𝑥0 , 𝑦0 :

𝐷 𝑥0 , 𝑦0

𝜕 2 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = 𝜕𝑥 2

𝜕 2 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 𝜕𝑦 2

𝜕 2 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥

Si 𝐷 > 0 y

𝜕2 𝑓 𝑥0 ,𝑦0 𝜕𝑥 2

> 0 entonces 𝑧0 es un mínimo

b)

Si 𝐷 > 0 y

𝜕2 𝑓 𝑥0 ,𝑦0 𝜕𝑥 2

< 0 entonces 𝑧0 es un máximo

c)

Si 𝐷 < 0 entonces 𝑧0 es un punto de silla

a)

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

2

23

Ejemplo 2.1

 La superficie de la función

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 12

se muestra en la figura a) Determina el punto crítico b) Calcula el mínimo absoluto c) Comprueba con el criterio de la segunda derivada que el valor de la función en el punto crítico corresponde a un mínimo Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

24

Respuesta del Ejemplo 2.1

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 12

a) Punto crítico: 1,3 b) Mínimo absoluto: 𝑓 1,3 = 2 𝑃 1, 3, 2

c) Criterio de la segunda derivada: 𝐷 1,3 = 4 y 𝜕2 𝑓 1,3 𝜕𝑥 2

= 2, por lo tanto 𝑓 1,3 = 2 es un mínimo

1, 3

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

25

Ejemplo 2.2

Se va a construir una caja rectangular, sin tapa, de un trozo de cartón de 12 m2 . Encuentra el máximo volumen que puede almacenar esta caja

𝑧 𝑦

𝑥

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

26

Respuesta del Ejemplo 2.2

 Dimensiones de la caja para volumen máximo:  𝑥 = 2 m, 𝑦 = 2 m, 𝑧 = 1 m

 Volumen máximo:  𝑉 = 4 m3 𝑧 𝑦

𝑥

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

27

Taller

 Sección 14.7  Ejercicios: 6, 40, 44, 46, 50

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes

28

Referencias

 Cálculo de varias variables trascendentes tempranas. James Stewart. Cengage Learning. 7ma edición.

Enrique René Bastidas Puga Teresa Polanco Aboytes