Unidade 5 - Mapas de Karnaugh 1

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17/08/2018

UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.

Obtenção da expressão lógica a partir da saída da tabela verdade

É possível obter uma expressão lógica que resulte em determinada saída, utilizando apenas a tabela verdade. Para facilitar este processo, algumas mudanças na simbologia devem ser realizadas. Os operadores lógicos E, OU e Negação passam a ser representados por suas operações algébricas correspondentes, conforme indicado na tabela abaixo: Operador E

Notação

Operação Algébrica

A^B

A·B

OU NEGAÇÃO

AvB ~A

A+B A

Como consequência, as leis da lógica ficam da seguinte forma: Ø Propriedades da operação OU: A A A A

+ + + +

0 1 A A

= = = =

A 1 A 1

Ø Propriedades da operação E: A A A A

· · · ·

0 1 A A

= = = =

0 A A 0

Ø Propriedade comutativa: A+B=B+A A·B=B·A Ø Propriedade Distributiva: A · (B + C) = A · B + A · C Ø Teorema de DeMorgan:

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Por exemplo, consideremos que queremos um circuito lógico que apresente a saída indicada na tabela a seguir: A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

Saída (Y) 1 0 1 0 1 0 1 1

Primeiro, marcamos todas as linhas cujas saídas são verdadeiras (1), conforme já foi feito na tabela. As linhas cujas saídas são falsas (0), serão desconsideradas. Cada uma dessas linhas corresponderá ao conjunto das entradas (considerando a negação da entrada, caso o valor da entrada na linha seja 0), ligadas pelo operador E. Assim, temos: A 0

B 0

C 0

Saída (Y) 1

0 0

0 1

1 0

0 1

0 1

1 0

1 0

0 1

1 1

0 1

1 0

0 1

1

1

1

1

Expressão

Em seguida, a expressão equivalente final é o resultado do conjunto de todas as expressões unidas pelo operador OU:

Embora este método seja bastante simples, resulta em expressões lógicas muito grandes, que quase sempre podem ser simplificadas. Uma forma de se obter uma expressão lógica já bem mais reduzida é pelo uso dos Mapas de Karnaugh. Mapa de Karnaugh O Mapa de Karnaugh é um diagrama utilizado na minimização de funções booleanas. Chamamos a esse diagrama um mapa visto este ser um mapeamento a partir de uma tabela de verdade da função (expressão lógica) que está sendo analisada. Os diagramas foram originalmente criados por Edward Veitch (1952) e aperfeiçoados pelo engenheiro de telecomunicações Maurice Karnaugh. Karnaugh utilizou os diagramas para simplificar circuitos utilizados em telefonia. O nome completo do método é Veitch-Karnaugh, em homenagem aos seus dois precursores, mas usualmente utilizase apenas o nome de Karnaugh para o método. https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo

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O método utiliza a tabela verdade de uma função booleana como base para as simplificações. Um mapa de Karnaugh é uma ajuda excelente para simplificação de funções de até 6 variáveis. Além disso, o mapa de Karnaugh permite descobrir a função correspondente quando se conhece apenas a saída da mesma.

Construção do Mapa de Karnaugh

A construção do Mapa de Karnaugh segue sempre a mesma seqüência, independentemente da quantidade de variáveis (proposições) envolvidas. Eis a seqüência de construção:

1. Montar a tabela verdade da expressão lógica, ordenando as linhas em ordem crescente. 2. Acrescentar uma coluna na tabela verdade, numerando as linhas a partir de zero. 3. Constrói-se tantos quadrículos (células) quantas forem as linhas da tabela verdade. 4. Coloca-se os valores das variáveis do lado de fora de cada quadrículo. 5. Enumera-se cada quadrículo com o número da linha correspondente no canto superior esquerdo. 6. Coloca-se os valores da função no centro de cada quadrículo, respeitando-se o número da linha correspondente. Exemplos: 1. Considere a função ((A · B) + A), cuja tabela verdade é mostrada abaixo: A

B

0 0 1 1

0 1 0 1

((A · B) + A) 0 0 1 1

As linhas são numeradas: A

B

0 0 1 1

0 1 0 1

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((A · B) + A) 0 0 1 1

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São construídos 4 quadrículos, e os valores das variáveis do lado de fora de cada quadrículo:

A seguir, numera-se cada quadrículo, de acordo com a associação dos valores das variáveis:

Na seqüência, insere-se o valor da função no quadrículo correspondente a cada linha:

É possível observar, pelo mapa de Karnaugh, que a função será sempre verdadeira quando A for verdadeiro (1), e será sempre falsa quando A for falso (0), independentemente do valor da variável B. Desta forma, podemos constatar que:

((A · B) + A) = A

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2. Considere a expressão ((A · B) + (A + B)), cuja tabela verdade é mostrada abaixo: A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

((A · B) + (A + B)) 0 1 1 1

As linhas são numeradas: A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

((A · B) + (A + B)) 0 1 1 1

Linha 0 1 2 3

São construídos 4 quadrículos, e os valores das variáveis do lado de fora de cada quadrículo:

A seguir, numera-se cada quadrículo, de acordo com a associação dos valores das variáveis:

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Na seqüência, insere-se o valor da função no quadrículo correspondente a cada linha:

É possível observar, pelo mapa de Karnaugh, que a função será sempre verdadeira quando A for verdadeiro (1), ou quando B for verdadeiro (1), sendo falsa apenas quando ambos forem falsos. Assim, é possível constatar que

((A · B) + (A + B)) = (A + B)

Utilização do Mapa de Karnaugh (duas variáveis)

Ao utilizarmos o Mapa de Karnaugh, desconsideremos todos os quadrículos cujo valor lógico seja zero, e realizamos a soma (operação OU) de todos os quadrículos cujo valor lógico seja 1:

Ø Caso tenhamos uma linha ou coluna inteira de valores iguais a 1, consideramos esta linha ou coluna na soma, ao invés de seus quadrículos em separado. Neste caso, se a variável for 1 na linha ou coluna correspondente, consideremos a própria variável; caso contrário, consideramos a negação da variável.

Ø Os demais quadrículos são considerados e indicados pelo produto (operação E) das variáveis nas quais eles se encontram; novamente, no caso de uma variável valendo zero, consideremos a negação da variável.

Exemplos: - Considere a função ((A · B) + A), cuja tabela verdade é mostrada abaixo:

A 0 0 https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo

B 0 1

((A · B) + A) 0 0 6/13

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1 1

0 1

1 1

As linhas são numeradas: A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

((A · B) + A) 0 0 1 1

Linha 0 1 2 3

Pelas regras apresentadas, temos apenas A como saída, ou seja, a função é

((A × B) + A) = A

- Considere a expressão ((A · B) + (A + B)), cuja tabela verdade é mostrada abaixo:

A

B

0 0 1 1

0 1 0 1

((A · B) + (A + B)) 0 1 1 1

As linhas são numeradas: A

B

0 0 1 1

0 1 0 1

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((A · B) + (A + B)) 0 1 1 1

Linha 0 1 2 3

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Pelas regras apresentadas, temos A +

como saída, ou seja, a função é

((A · B) + (A + B)) = A +

Porém, se pegarmos o mesmo mapa de Karnaugh, podemos considerar que possuímos uma linha e uma coluna completas, conforme indicado na figura abaixo:

Neste caso, temos a expressão lógica A + B. è possível demonstrar, pela construção da tabela verdade, que ambas as expressões possuem valores lógicos iguais. Extrapolando tal raciocínio, podemos deduzir as seguintes leis de equivalência:

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Bibliografia:

LOURENÇO, Antonio Carlos de, ET AL. Circuitos Digitais - Capítulo 3. São Paulo, 1996 - ESTUDE E USE - ÉRICA.

Exercício 1: Qual das expressões lógicas não apresenta a saída indicada na tabela abaixo?

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

S 0 1 1 1 1 1 0 1

A) S = A ·B' + C + A' · B B) S = C + (A

B)

C) S = A ·B' + A' · B + A · B' · C + A' · B · C D) S = C + C' · A ·B' + C' · A' ·B E) S = C' + (A

B)

Comentários: Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários

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Exercício 2: Qual das tabelas verdade abaixo representa a saída Y do circuito abaixo?

A) A

B

C

B)

Y A

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

Y

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

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Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários

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1

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Exercício 3:

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

Comentários:

Considere o mapa de Karnaugh apresentado abaixo. Não é uma saída possível para o circuito:

1

A

B

C

Y

A

B

C

Y

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

1

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1

1

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C

1

1 1

B

0

0 1

1

1

0 1

1

0

C) D) E)

A 1

0 1

1

0

0 0

1

0

0 0

0

Y

0 0

0

C

0 0

0

B

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1

0

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1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

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A)

B)

C)

D)

E)

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Exercício 4: Considere a expressão para a saída S, indicada abaixo, em função das entradas A, B e C.

A forma mais simplificada possível para esta saída é: A)

B)

C)

D)

E)

Comentários: Essa disciplina não é ED ou você não o fez comentários Exercício 5: A expressão lógica

pode ser simplificada como sendo:

A) A B) B https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo

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C) ~A D) ~A+B E) A+B

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